Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.
Рассмотрим степень с комплексным показателем z = χ + iy, где e = 2,7182… – основание натурального логарифма, то = , т.е. = (11) Если х = 0, то получим соотношение, которое называется формулой Эйлера = (12) Показательная функция имеет период, равный 2πi, т. е. . При z = 0 получим соотношение . Тригонометрическую форму комплексного числа z = r( можно записать виде: z = r , = r (13) Эта запись называется показательной или экспоненциальной формой комплексного числа. Для комплексных показателей справедливы основные правила действий с показателями: 1) Правило: При умножении чисел показатели складываются. r1 (14) 2) Правило:При делении чисел показатели вычитаются. (15) 3) Правило:При возведении в степень показатели перемножаются. (r )n = (16) * (k = 0,1,2,…,n – 1) (17) Формула Эйлера (12) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменим в этой формуле у на φ и на – φ, получим = = Складывая и вычитая эти равенства, получим: (18) (19) Формулы (18) и (19), также называются формулами Эйлера.Они выражают тригонометрические функции через показательные. Пример 11:Представьте в показательной форме комплексное число z = - 2 + 2 i. Решение: Используя формулу (5), находим r = = 4. По формуле (13) найдём = ; = . По формуле (18) и (19) вычислим значение = - и = , т.о. φ = -
Ответ: z = 4
У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и: 1. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а) z = 1 + i; б) z = 2 - 2i. 2. Решите квадратные уравнения: а) х2 + х + 1 = 0; б) х2 + 1 = 0 3. Даны два числа z1 = 2 + 3i; z2 = 1 – 2i. Найдите сумму и разность этих чисел. 4. Найдите х и у из уравнения: (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i. 5. Дано z1 = z2 = Найдите z1z2 6. Представьте в экспоненциальной форме комплексное число 2 + 2i. 7. Дано z1 = 2e – I; z2 = 0.5e0.5i. Найдите: z1z2 Ответы:1.а) r = ; φ = . б) r = ; φ = - . 2. а) - ; б) . 3. 3 + I и 1 + 5i. 4. x = - ; y = . 5. ( ). 6. 2 . 7. e- 0.5i.
Пределы. Определение1:Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут = А. Определение 2:Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если = 0 Пример1: Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если = ± ∞. Пример2: . Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций: 1.Если f(х) – бесконечно малая функция, то - бесконечно большая функция. 2.Если f(х) – бесконечно большая функция, то - бесконечно малая функция. Теоремы о пределах. Теорема 1:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х): (f(х) + g(х))= + g(x). Теорема 2:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х): (f(х) * g(х))= f(x)*. Теорема № 3:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х): Следствия. Следствие 1:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Следствие 2:Предел степени равен степени пределов. = ( )n. Следствие 3: = с. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 256. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |