Первообразная и неопределенный интеграл

В предыдущей теме 4 пособия введены понятия производ­ной и дифференцирования функции. Обратной операцией для дифференцирования функции является операция интегрирования функции, или операция нахождения ее первообразной.

Определение.Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке Х, если для всех х этого промежутка выполняется равенство: F′(x) = f (x).

ПРИМЕРЫ:

1. Функция F(x) = sin x будет являться первообразной для функции                 f (x) = cos x, поскольку для любых действительных х справедливо равенство: (sin x)′ = cos x.

2. Функция F(x) = x³ будет являться первообразной для функции f (x) = 3x², поскольку для любых действительных х справедливо равенство: (х³)′ = 3х².

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F(x) является перво­образной для функции f (x), т.е. F′(x) = f (x), то функция Φ(x) = F(x) + C, где С – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции f (x), поскольку: Φ′(х) = F′(x) + 0 = f (x). Отсюда следует, что множество всех первообразных для некоторой данной функции состоит из функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину, которая, в свою очередь, может принимать произвольные действительные значения.

Определение.Если функция F(x) является первообразной для функции f (x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом:

При этом функция f (x) называется подынтегральной функ­цией, выражение f (x)dx – подынтегральным выражением, dx – дифференциалом переменной х, которая в этом случае называется переменной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его основные свойства.

1). Производная неопределенного интеграла равна подын­те­гральной функции, а дифференциал от неопределенного интеграла равен подын­те­гральному выражению, т.е.:

2). Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.:

3). Постоянный множитель можно выносить за знак неопреде­лен­ного интеграла, т.е. если k = const ¹ 0, то:

4). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е.:

Таблица основных неопределенных интегралов

В приведенной ниже таблице основных неопределенных интегралов часть формул (1÷10) следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и из таблицы производных простей­ших элементарных функций. Справедливость остальных формул легко может быть проверена дифференцированием.

1).               2).  

3).            4).

5).                  6).

7).          8).

9).               10).

  11).          

  12).  

  13).             

  14).

 Неопределенные интегралы, содержащиеся в этой таблице, условно называются табличными.

Основные методы интегрирования