Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Понятие о производных высших порядков
Пусть y = f (x) – дифференцируемая на некотором промежутке функция. Тогда ее производную можно рассматривать как некоторую новую функцию аргумента х, и, следовательно, ставить вопрос о вычислении производной от этой новой функции: . Такая производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f (x). По аналогии определяются производные более высоких порядков. ПРИМЕР: Для функции y = x3 имеем: и
Примеры решения задач Задача 1.Найдите уравнение касательной к графику функции в точке М (2, 4). Решение. Любая прямая, проходящая через точку М, будет иметь уравнение: . Очевидно, что и касательная к графику рассматриваемой функции будет иметь такое же уравнение. Неизвестный нам угловой коэффициент k может быть найден, исходя из условия, что угловой коэффициент касательной численно равен значению производной функции, вычисленной в точке касания: . Таким образом, искомое уравнение можно записать в виде: 4x – y – 4 = 0. Задача 2.Для функции спроса D (p) = 40 – 2p найдите эластичность спроса по цене при p = 4. Решение.Используя формулу для эластичности функции, имеем: . Подставляя в эту формулу значения: , получим: Полученный результат означает, что при возрастании цены на 1%, спрос упадет на 0,25%, т.е. в рассматриваемом случае спрос будет неэластичным.
Основные теоремы о свойствах дифференцируемых функций
Теорема Ферма
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точках максимума и минимума функции касательная к ее графику горизонтальна, т.е. составляет нулевой угол с осью абсцисс.
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если угловой коэффициент секущей М1М2 равен отношению приращения функции на отрезке [a, b] к длине этого отрезка, то на интервале (a, b) обязательно найдется такая точка c, что касательная, проведенная к графику функции в точке М0 (c, f (c)), будет иметь такой же угловой коэффициент, как у секущей (рис. 6).
Рис. 6. Правило Лопиталя Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в точке х0 и выполняется равенство: , то справедлива формула:
Приведенную формулу можно сформулировать в виде правила Лопиталя:
Это правило остается верным и в случае, когда и , а также и в том случае, когда под знаком предела имеется неопределенность вида: , т.е.:
ПРИМЕР: Поскольку неопределенности вида могут быть сведены к неопределенностям вида , то к раскрытию таких неопределенностей также можно применять правило Лопиталя. Кроме того, правило Лопиталя после логарифмирования можно применять для раскрытия неопределенностей видов .
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 265. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |