Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Это уравнение вида:
где – многочлены степени n и m соответственно. – постоянные величины. Известно, что общее решение таких уравнений имеет вид , где – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3), – общее решение соответствующего однородного уравнения Частное решение уравнения (3) ищем в виде, подобном правой части:
где многочлены k-той степени с неизвестными коэффициентами, определяемыми в процессе решения, k=max{n,m}. При этом следует составить число , где – коэффициент при x в показателе , – коэффициент при x в аргументе синуса или косинуса (если один из них отсутствует). Если это число не является корнем характеристического уравнения, то в виде (4) оставляем без изменения, если есть корень кратности s (повторяется s раз), то выбранный домножаем на . Примеры 1) Если , то смотрим является ли корнем характеристического уравнения число , 8 – многочлен нулевой степени, в общем виде это некоторое число, т.е. выбираем . 2) .
После предварительного выбора проверяем, является ли число корнем характеристического уравнения. Далее находим первую, вторую производную , подставляем их в первоначальное уравнение и находим A, B, C. Примеры (см. задание 5): а) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение , составим характеристическое уравнение , (корень кратности 2 – повторяется 2 раза), тогда -общее решение соответствующего однородного уравнения. б) Найдем . Его будем искать в виде, подобном правой части. Там -это многочлен второй степени, в общем виде это , т.е. . Число не является корнем характеристического уравнения, значит, оставим в выбранном виде. Теперь найдем неизвестные коэффициенты . Так как – есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем и подставим в первоначальное уравнение Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Приравняем коэффициенты при (свободный член) в обеих частях тогда . Общее решение . , а) -решаем соответствующее однородное уравнение. Составим его характеристическое уравнение. б) , -является корнем характеристического уравнения, тогда домножим на x , так как пара повторяется один раз, тогда окончательно . Найдем A и B.
Подставим в первоначальное ДУ
Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x , тогда . Замечание. Если в правой части отсутствуют и , частное решение ищем все равно в виде суммы двух слагаемых. |
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 284. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |