Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Понятие определенного интегралаСтр 1 из 8Следующая ⇒
Интегральное исчисление 1.1 Первообразная, неопределенный интеграл Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на множестве X, если для всех . Выражение F(x)+C представляет собой семейство всех первообразных функции f(x). (C=const). Определение. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом. Обозначается . Простейшие свойства. 1) 2) 3) 4) Таблица основных интегралов
В частности: ; ; . Из определения и свойств неопределенного интеграла следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями: производная правой части в каждой формуле равна подынтегральной функции. Проверим, например, формулу 2. Примеры: 1) ; 2) . Методы интегрирования Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной) Если относительно данной переменной интеграл не является табличным, то в некоторых случаях его можно привести к табличному относительно новой переменной с помощью подведения под знак дифференциала нужной функции. При этом удобно пользоваться следующими формулами, которые получаются из формул дифференцирования при прочтении их в обратном порядке:
Примеры (см. задание 1а) 1) ; 2) 3) Метод письменной замены переменной (подстановки) План 1. Вводим новую переменную (подстановку) 2. Дифференцируем подстановку. 3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение. 4. Вычисляем интеграл. 5. Возвращаемся к старой переменной. Примеры (см. задание 1а): 1) . 2) . 3) . Метод интегрирования по частям Этот метод применяют для интегралов вида: а) , , ; б) , , , , ; в) , ; где - многочлен. Формула интегрирования по частям имеет вид: . 1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV. 2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx. 3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды. Примеры (см. задание 1б): 1) ; 2) ; 3) . 4) можно решение записать иначе: Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y ; ; +С. Определенный интеграл Задача о площади. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x), прямыми x=a, x=b, отрезком [a ,b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией. 1) Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками . Получим n маленьких отрезков с длинами ; . 2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке . Найдем значения функции в этих точках . Примем эти ординаты за высоты прямоугольников. 3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда . Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков. . Понятие определенного интеграла К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи. Пусть на [a, b] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида . Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [a, b]. Она зависит от способа деления [a, b] на элементарные части и от выбора точек на каждой из этих частей. Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [a, b] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [a, b] и обозначается _____________________________ Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем
т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Теорема. Для любой непрерывной на [a,b] функции существует определенный интеграл.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 233. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |