Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9
(задание 11) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальное уравнение вида , где числа (причём ), называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где числа, а и частные решения, образующие фундаментальную систему решений. Фундаментальную систему и образуют в случае, когда отношение . Эйлером было предложено частное решение искать в виде , где . Тогда , . Подставив в уравнение , получим , . Из последнего уравнения получим , это равенство называется характеристическим уравнением. В зависимости от корней этого уравнения, общее решение находится тремя способами. 1. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два различных вещественных корня и . Тогда общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид . 2. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два одинаковых вещественных корня . Тогда общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид . 3. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два комплексных корня. Пусть , где , . Тогда корни характеристического уравнения будут равны . Общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в этом случае имеет вид Замечание: характеристическое уравнение можно получать, делая следующие замены , , . Пример 45 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение , заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , следовательно, получаем случай 1. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид . Пример 46 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение , заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , (то есть квадратный трёхчлен является полным квадратом , ), следовательно, получаем случай 2 Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид . Пример 47 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение , заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , тогда , – комплексные корни, следовательно, получаем случай 3 . Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид . Пример 48 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение , заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда . Решения уравнения , – различные вещественные корни, следовательно, получаем случай 1. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Пример 49 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение , заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда или – комплексные корни, следовательно, получаем случай 3. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Пример 50 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение , заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда или , – различные вещественные корни, следовательно, получаем случай 1. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Список рекомендуемой литературы
1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. М.: Проспект, 2011.-608с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.Т.1, М.: Интеграл-Пресс, 2007.-416с. 3. Бойцова Е.А. Практикум по математике: Учебное пособие. Старый Оскол: ТНТ, 2014. -160с. 4. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях: Ч.2 / Под общей ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2009.-432с. 5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.II. Учеб.пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1996. - 304с., 416с. 6. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. T.1. M.: Высш. шк., 1973. 495 с. 7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. T.1. М.: 1971. 615 с. 8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980. 464 с. 9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа./Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. –М.:Наука, 1981. 10. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1976. 470 с. 11. Неопределённый интеграл. Приложения определённого интеграла. Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс]: индивидуальные задания к выполнению модуля 5,6,7 для студентов специальности «Таможенное дело» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Бредихина О.А., Шеставина С.В. –Курск: ЮЗГУ, 2015. −24c.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 192. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |