Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод замены переменной в неопределённом интеграле (задание 2)
Найти интеграл, используя метод замены переменной, подведения функции под знак дифференциала, результат проверить дифференцированием. Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве . То есть главной задачей является приведение подынтегрального выражения к виду . При этом нужно пользоваться формулой для расчёта дифференциала функции . Наиболее часто встречающиеся дифференциалы приведены в таблице 2. Таблица 2 Таблица основных дифференциалов
Пример 7 Решение [таблица 2, формула №3] [таблица 1, формула №2] Проверка Пример 8 Решение [таблица 2, формула №9] [таблица 1, формула №2]
Проверка
Пример 9 Решение [таблица 2, формула №1] [таблица 1, формула №13] Проверка
Замечание: часто при нахождении неопределённых интегралов полезно пользоваться формулой , где . Пример 10 Решение [таблица 1, формула №5] Проверка Приём подведения под знак дифференциала есть частный случай замены переменной в неопределённом интеграле. Замена переменной под знаком интеграла может производиться в двух формах: – в прямой, используя формулы , ; – в обратной, используя формулы , . Наиболее часто применяется обратная форма замены переменной. Пример 11 Решение
[таблица, формула №3] Проверка Прямую форму замены переменной чаще всего используют в случае, когда производная является производной достаточно сложной функции и гораздо проще найти производную . Пример 12 Решение [таблица 1, формула №2] Проверка
Метод интегрирования по частям (задание 3)
Найти интеграл, используя формулу интегрирования по частям, результат проверить дифференцированием. Пусть и – функции, имеющие непрерывные первые производные на рассматриваемом интервале. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: . Данный метод применяется, если 1.Подынтегральная функция – это тригонометрическая или показательная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен, то есть представляет собой произведение вида , , , , где многочлен степени . При этом, за берётся . Пример 13 Решение
Проверка Иногда формулу интегрирования по частям следует использовать несколько раз. Пример 14 Решение
В процессе этого решения был найден следующий интеграл: [таблица 1, формула №4*] Проверка
2.Подынтегральная функция – это обратная тригонометрическая функция, умноженная на какой-нибудь многочлен, то есть произведение вида , , , , либо логарифмическая функция, умноженная на какой-нибудь многочлен, то есть произведение вида , , , где многочлен степени . При этом, за берётся в первом случае обратная тригонометрическая, а во втором – логарифмическая функция. Пример 15 Решение
[таблица 1, формулы №1 и №13*] Проверка Замечание: случай, когда многочлен имеет нулевую степень не исключается. Пример 16 Решение
[таблица 1, формула №1] Проверка 3.Подынтегральная функция – это произведение показательной и тригонометрической функций, то есть произведение вида , , , . Здесь, дважды проинтегрировав по частям, приходим к линейному относительно исходного интеграла уравнению. Выразив из него интеграл, находим одну из первообразных. При этом, можно принимать как показательную, так и тригонометрическую функцию, однако, интегрируя по частям второй раз, за нужно принимать соответственно первому разу показательную, либо тригонометрическую функцию. Пример 17 Решение
. После введения замены , получим уравнение, линейное относительно переменной . Решая его, находим значение одной из первообразных. , , . Таким образом, решение исходного интеграла примет вид Проверка
Замечание: аналогичным способом можно решать интегралы с подынтегральной функцией вида , и т.п. Пример 18 Решение
. После введения замены , получим уравнение, линейное относительно переменной . Решая его, находим значение одной из первообразных. , , . Таким образом, решение исходного интеграла примет вид Проверка
|
||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 213. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |