Физическая и математическая модели машины

Классический подход к исследованию работы машины или отдельной системы состоит в следующем. Разрабатывается физическая модель того или иного процесса, на основании ее составляется математическая модель и затем путем решения математической модели и анализа полученных результатов проверяется адекватность, т.е. соответствие этой модели действительной картине процесса.

Физическая модельпроцессаили системыпредставляет собой ее абстрагированное символическое описание.

Например, изучаются колебательные процессы в валопроводе, т.е. в редукторе привода рабочего органа машины. Возьмем в качестве такой машины центробежный насос с одним рабочим колесом, рис. 3.1 а. Физическая модель такой системы представляет собой ротор приводного двигателя, вал, рабочее колесо. Схематично физическая модель такой системы будет иметь вид, показанный на рис. 3.1 б.

Модель учитывает: моменты сил M₁(t) и M₂(t), действующих на ротор двигателя и рабочее колесо насоса, моменты инерции этих тел I₁ и I₂, коэффициенты жесткости С₁₂ и демпфирования β₁₂ вала.

В модели не учитываются: корпус насоса, подшипники, соедини­тельная муфта, уплотнения и др. т.п. элементы.

Поскольку двухмассовая система математически может быть описана только системой двух дифференциальных уравнений, упростим ее, считая, что момент инерции ротора двигателя намного больше момента инерции колеса, а физическая модель несколько упростится и примет вид, показанный на рис. 3.2.

Математическая модельпроцесса представляет собой аналитическое описание связей между отдельными элементами физической модели.

Уравнение движения рабочего колеса имеет вид:

                                   ,

где M_и, M_д, M_у — моменты сил, действующие на рабочее колесо: момент сил инерции, момент демпфирующих сил (сопротивление движению) и момент упругой деформации вала; M(t) — момент внешних сил (внешнее возмущение).

Перемещение элементов системы, в данном случае рабочего колеса характеризуется тремя параметрами – угловым перемещением φ (деформация вала), угловой ско­ростью  и угловым ускорением .

Тогда моменты M_и, M_д, M_у  могут быть выражены через перемещение:

                    ; ; .

Уравнение движения примет вид

                                   .

Полученное уравнение представляет собой математическую модель рассматриваемой системы.

Если математическая модель представляет собой, как в рассматриваемом случае, дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. линейными связями между параметрами системы, такую систему называют линейной динамической системой второго порядка.

В случае, когда связь между параметрами математической модели описывается нелинейными зависимостями (например, квадратичными, куби­чес­кими или степенными), динамические системы носят название нелинейных динамических систем.

Далее, если слагаемые левой части уравнения являются переменными и переменность их обусловлена непостоянством коэффициентов, такие математические модели и соответствующие им динамические системы носят название систем с переменными коэффициентами. Характерным примером системы с переменными коэффициентами является полет ракеты, масса кото­рой уменьшается в процессе полета.

Если в математической модели и левая и правая ее части – детермини­рованные, (функциональные) зависимости, математическая модель и соответ­ствующая ей система относятся к детерминированным(функциональным), т.е. связи между параметрами системы описываются детерминированными (строго определенными) зависимостями.  

В случае, когда правая часть математической модели является случай­ной функцией, говорят, что такие математические модели (дифференциальные уравнения) относятся к классу уравнений со случайной правой частью, а динамические системы – к системам со случайным возмущением.

И, наконец, если и коэффициенты в левой части уравнения и его пра­вая часть — случайные величины или функции, такие дифференциальные уравнения и соответствующие им динамические системы называются стохасти­ческими, т.е. случайными во времени.