![]() Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Равномощность множеств. Кардинальные числа.
Введем понятие равномощности множеств, одно из самых интересных и важных понятий теории множеств. Определение. Два множества Пример 1. Если Пример 2. Пусть Функция Терема 1. Для произвольных множеств (I) Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномощность множества Если функция Если функция Верны следующие формулы:
Мы опускаем доказательства (2-7), т.к. они не сложны (смотреть Е. Смупецкий, Л. Борковский «Элементы математики и теории множеств»). Докажем формулы (8-10). Пусть Для каждого фиксированного Если Каждая функция Таким образом, сопоставляя функции Чтобы доказать (9), заметим, что если Отсюда следует, что Легко убедиться, что, сопоставляя функциям Наконец, чтобы доказать (10), сопоставим каждой функции Формулы (2) и (8-10) представляют собой частные случаи следующих теорем. Теорема 2 (закон коммутативности). Пусть Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждой функции 1) Таким образом, соответствие, установленное равенстом 2) Функция 3) Наконец, каждую функцию, принадлежащую декартову произведению Теорема 3 (закон ассоциативности). Пусть
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим Сопоставим функции
где Областью определения этой функции служит множество 1) Отображение, сопоставляющее функциям 2) Осталось показать, что каждая функция Для доказательства (13) достаточно в (12) положить Теорема 4 (Закон возведения в степень декартова произведения). Пусть
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим на множестве Декартово произведение можно представить в виде суммы попарно непересекающихся множеств двумя различными способами :
где
Например,
Аналогично Дважды применяя теорему 3, получим
Для
Из (15) получаем
Сопоставляя при данном
Формула (14) непосредственно следует из (17) и (18). Если множества ( a) качества ??? элементов множества b) от их порядка.
Разумеется ???, этим не оправдывается понятие мощности множества или его кардинального числа, а только вводится новый термин для понятия равномощности. В конечном счете этот термин не обязателен, поскольку теоремы теории множеств можно сформулировать так, чтобы в них шла речь не о свойствах кардинального числа (или мощности), а об отношениях между ними, и эти отношения всегда можно доказать при помощи понятия равномощности. Однако многие теоремы теории множеств становятся более обозримыми, если они сформулированы как теоремы о кардинальных числах. Это и оправдывает введение в теорию множеств кардинальных чисел. Легко доказывается Теорема 5. Для того, чтобы множество Реляционный тип системы Из теоремы 5 и аксиомы VIII (§ 10, глава II) вытекает Теорема 6. Для произвольных множеств Эта теоремы позволяет представить результаты о равномощности множеств в виде равенств кардинальных чисел.
Счетные множества.
Пусть В дальнейшем кардинальное число конечного множества будем отождествлять с числом его элементов. Таким ообразом, теория мощностей конечных множеств не выводит нас за рамки арифметических натуральных чисел. Новые ситуации возникают только тогда, когда мы переходим к рассмотрению бесконечных множеств. О п р е д е л е н и е. Множество Очевидно, что любые два бесконечные счетные множества равномощны (смотреть теорему 1, § 1). Кардинальное число бесконечных счетных множеств обозначим через а ( В главе III мы определили последовательность как функцию, областью определения которой служит множество натуральных чисел. Из этого определения следует, что бесконечное множество Допуская некоторую вольность, можно сказать, что множество Теорема 1. Каждое непустое счетное множество является множеством значений некоторой бесконечной последовательности. И обратно, множество значений произвольной бесконечной последовательности счетно и непусто. Д о к а з а т е л ь с т в о. Конечное множество
Бесконечное счетное множество есть по определению множество значений некоторой бесконечной последовательности. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим множество Пусть По индукции легко доказать, что для каждого Предположим, что множество Если Наименьшее такое число По определению последовательности Аналогично доказывается |
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 299. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |