Методические указания к выполнению работы

Анализ переходных процессов

В линейных электричеСких цепях постоянного тока

Методические указания к выполнению работы

1. Классический метод расчета апериодического переходного процесса  рассмотрим на примере схемы рис. 4.2. Определим ток i(t) в цепи после замыкания ключа, если

R = 10 Ом; L = 1 Гн; C = 10^-3 Ф; U = 100 В.

Решение. 1.1. Рассматриваем докоммутационный режим (t<0) (в нашем случае - при разомкнутом ключе), расчетная схема приведена на рис. 4.3.

В докоммутационном  режиме всегда определяют ток в индуктивном элементе  i_L(0_–) и напряжение на емкостном элементе u_C(0_–): i_L(0_–) =0 и u_C(0_–) = 0.

1.2. В момент коммутации (t=0) согласно первому и второму законам коммутации в цепи

i_L(0_–) = i_L(0₊) = 0 и u_C(0_–) = u_C(0₊) = 0.

Это и есть нулевые независимые начальные условия.

1.3. Схема цепи для послекоммутационного режима (t>0) показана на рис. 4.4.

Для нее составляем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Решение системы уравнений для любой из величин в общем случае представляем в виде суммы установившейся (принужденной) и свободной составляющих.

Таким образом, интересующая нас величина тока

.

Здесь вид свободной составляющей определяется типом корней характеристического уравнения, а принужденная составляющая – законом изменения приложенного в цепи напряжения.

1.4. Расчетная схема для установившегося после коммутационного режима  (t→∞) представлена на рис. 4.5. Определяем принужденную составляющую искомой величины.

Так как  U = const, то  ω=0, тогда ,  и

       , А.

1.5. Для определения корней характеристического уравнения составляем расчетную схему цепи для послекоммутационного режима (t>0), заменив в ней источник напряжения его внутренним сопротивлением (для идеального источника R_в=0) (рис. 4.6).

Относительно любых точек разрыва записываем входное сопротивление схемы цепи и приравниваем его к нулю:

;

;

.

;

.

Полученное квадратное уравнение имеет два корня:

, с^-1.

 с^-1;  с^-1.

Корни разные по величине и представляют собой отрицательные действительные числа, следовательно, в цепи протекает апериодический процесс и свободная составляющая тока имеет вид:

.

Искомое решение - с двумя постоянными интегрирования А₁ и А₂:

.

1.6. Для определения двух постоянных интегрирования записываем полученное решение и его производную для начального момента времени (t=0):

;                                                                                        .                                                                       Зависимые начальные условия  и определяем из системы дифференциальных уравнений цепи, записанных для t = 0:

откуда , А.

, А.       

Дифференцируем второе уравнение из системы уравнений, записанных по законам Кирхгофа (см. пункт 4.3)

и записываем полученное выражение для t=0:

,                                                                                      откуда , А/с.                 Решаем совместно два уравнения относительно неизвестных А₁ и А₂.                                 

После определения постоянных А₁ и А₂ подставляем их в искомое решение, и расчет закончен:                               , А.

1.7. Строим график определяемой величины. На рис. 4.7 он изображен розовым цветом. Красным цветом указан график принужденной составляющей тока, синим цветом – график свободной составляющей с наименьшим p, зеленым цветом – график свободной составляющей с наибольшим p.

Рис. 4.7

2.Классический метод расчета колебательного переходного процесса рассмотрим на примере схемы рис. 4.8. Ключ в цепи замыкается. Определим ток i₂(t) после коммутации, если  Ом; L = 5 мГн; C= 10 мкФ; E = 100 В.

Решение. 2.1. Рассмотрим схему электрической цепи в докоммутационном режиме (t<0) (рис. 4.9).

, А;                                                    В.

2.2. В момент коммутации (t=0) согласно первому и второму законам коммутации  для схемы цепи рис. 4.8 записываем независимые начальные условия:                                                        А;                                                                          В.

2.3. Схема цепи для послекоммутационного режима (t>0) показана на рис. 4.10.

Для нее система дифференциальных уравнений, описывающая переходный процесс:                                                                                                                                                                                                                       

Таким образом, интересующая нас величина тока

.

2.4. Расчетная схема для установившегося послекоммутационного режима (t→∞) представлена на рис. 4.11, для которой вычисляем принужденную составляющую искомой величины.

Так как U = const, то  ω=0, тогда ,  и

, А.

2.5. На рис. 4.12 представлена расчетная схема цепи для послекоммутационного режима (t>0), для которой записываем входное сопротивление цепи и приравниваем его к нулю.

       ;

;           ;     ;       .

Определяем корни характеристического уравнения:

,         , с^-1.                                               Корни представляют собой комплексно-сопряженные числа, следовательно, в цепи протекает колебательный процесс и свободная составляющая тока имеет вид:

;                                                                      .

Искомое решение                                                 , А.

2.6. Для определения двух постоянных интегрирования A и γ записываем полученное решение и его производную для t=0:

;                                                                             .                                                  Значения левой части этих равенств называют зависимыми начальными условиями. Для их определения записываем систему уравнений из пункта 2.3 для момента коммутации (t=0):

;                                                                      ;                                                ;                                                                            ;                                                                          ;

, А.                                        , .                                          Тогда

;                                              ;                                                                                                       ;                                                                         ;  ;                                                                        ;  А.

После определения постоянных А и γ подставляем их в искомое решение:

2.7. Строим график определяемой величины, на рис. 4.13 он изображен зеленым цветом. Красным цветом указан график принужденной составляющей тока, синим цветом – график свободной составляющей.

Рис. 4.13

3.Операторный методрасчета переходного процесса рассмотрим на примере схемы рис. 4.14. Определим закон изменения тока i₃ в зависимости от времени, если R₁=10 Ом; С=100 мкФ; R₂=2 Ом; L=0,1 Гн; R₃=3 Ом; U=120 В. До замыкания рубильника емкость была заряжена до напряжения u_C=120 В.

Решение. 3.1. Аналогично классическому методу для докоммутационной схемы (рис.4.14) записываем независимые начальные условия. (t<0).

, A. , В.

3.2. Для послекоммутационного режима работы цепи (t>0) составляем операторную схему замещения, имея ввиду, что начальные условия ненулевые.

Внутренняя ЭДС Li₁(0₊) позволяет учесть запас энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i₁(t) непосредственно до коммутации. Поэтому она направлена согласно с направлением тока I₁(p).

 Внутренняя ЭДС u_C(0₊)/p позволяет учесть зарядку конденсатора до напряжения u_C(0₊) током i₃ непосредственно до коммутации, поэтому она направлена навстречу току I₃(p). На рис. 4.15 изображена операторная схема.

3. Определяем ток I₃(p) методом контурных токов. Произвольно выбранные направления контурных токов показаны на рис. 4.15.

   .

.

.

4. С помощью теоремы о разложении определяем зависимость тока i₃ от времени.

.

Корни уравнения F₂(p)=0

Искомая величина

, А.