Экспоненциальное сглаживание

Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула:

(7.1)

где  - значение экспоненциальной средней в момент t;

 - параметр сглаживания,  0< <1;

.

Если последовательно использовать соотношение (7.1), то экспоненциальную среднюю  можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда:

Таким образом,

(7.2)

где n – длина ряда.

При , следовательно,

(7.3)

Таким образом, величина  оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина  называется экспоненциальной средней.

Автор модели английский математик Р. Браун показал, что математическое ожидание ВР и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[ ] меньше дисперсии ВР :

(7.4)

Так как 0< <1, D[ ] меньше дисперсии временного ряда, равной .

При высоком значении  дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением  дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением , с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений значение  нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания  составляет задачу оптимизации модели. При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого величине  следует присваивать одно из промежуточных значений от 0 до 1. При этом для оперативных, конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому  следует брать большим. При увеличении срока прогнозирования  следует уменьшить. В некоторых работах приводится формула для расчета :

                                                        ,                                                 (7.5)

где n – длина ряда.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени. Часто на практике в качестве начального значения  используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней ВР или из какой-то их части.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:

                                                  ,                                          (7.6)

где  – варьирующий во времени средний уровень временного ряда;

 – случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым мат. ожиданием и дисперсией .

Прогнозная модель определяется равенством:

                                                   ,                                           (7.7)

где  - прогноз, сделанный в момент t на  единиц времени вперед;

 – оценка .

Единственный параметр модели  определяется экспоненциальной средней:

                                                     = ;                                                         

                                                     =                                             

Выражение (1) можно представить по другому, перегруппировав члены:

(7.8)

Величину  можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз  получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели[19].

Вопросы для самоконтроля:

1Укажите характерные особенности адаптивных методов прогнозирования.

2Какие типы адаптивных моделей вы знаете?

3Чем объясняется название «экспоненциальная средняя»?

4Какую роль играет параметр адаптации  в процедуре экспоненциального сглаживания?

5Как влияет значение параметра адаптации  на характер ряда, полученного после экспоненциального сглаживания?

Глава 7

_________________________________________________________________