Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ α; 0≤ y ≤ b ; Uxx+Uyy=f(x,y) , (12.7) (ГУ) Ur=φ(x,y) . (12.8)
Выбрав шаги по времени и по координатам, строим сетку xl = l·h; x0= 0; xl = l·h; xn = α; yJ = J· τ; y0= 0; ym = b где t = 1,2,….,n; J = 1,2,……., m. Заменяя в каждом внутреннем узле (xl, yJ) производные конечными разностями по формулам (12.4), получаем конечно-разностные уравнения , (12.9) U0,J = φ(0,yJ)= φ0,J; Un,J = φ(α,yJ) = φn,J , (12.10) Ul,0= φ(x,0)= φl,0; Ul,m= φ(x,b)= φl,m , (12.11)
где t = 1,2,…., n; J = 1,2,……., m . Уравнения (12.9) вместе с условиями (12.10)-(12.11) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно Ul,J. Число неизвестных и число уравнений в системе равно числу внутренних узлов сетки. Схема узловых точек для уравнений (12.9) изображена на рис. 12.1. Если h = τ и Jl,J = 0, то конечно-разностные уравнения имеют вид
(12.12)
Пример 1. Найти решение уравнения теплопроводности Uxx=Ut; 0 ≤ x ≤ 1; t ≥ 0; (НУ) U(x,0)=4·x·(1-x); (ГУ) U(0,t)=U(1,t)=0 методом сеток с точностью до ε = 0.001 на первых трех временных уровнях, если шаг по координате Δx = h = 0,1, по времени Δt = τ = 1/600 .
Решение. Для вычисления Ul,J воспользуемся системой конечно-разностных уравнений (12.9) при g = 0 : = ( + )+ , (12.13) (НУ) Ul,0 = 4·xl ·(1-xl); l = 1,2,…., 10 , (12.14) (ГУ) U0,J= U10,J=0; J=0,1,2 . (12.15)
Составим таблицу значений Ul,J (табл. 12.1) .
Таблица 12.1
В силу симметрии начальных и краевых условий относительно оси x = 0,5 решение Ul,J будет симметричным относительно этой же оси. Это позволяет вести расчеты для t = 1,2,…., 5, а для остальных значений следует заполнить таблицу, исходя из свойства симметрии:
U0,J = U10,J; U1,J = U9,J; U2,J = U8,J ; U3,J = U7,J; U4,J = U6,J . Начальная строка этой таблицы (J = 0) заполняется на основании зaданного начального условия (12.14). В первый (l = 0) и последний (l = 10) столбцы вписываются данные граничных условий (12.15). Остальные строки таблицы последовательно заполняются с помощью применения расчетной формулы (12.13). На первом шаге
Ul,J = (1/6)· . Например, U1,1 = (1/6)· = (1/6)· (0,640+4∙0,360) = 0,347 . На втором шаге Ul,2 = (1/6)· .
Пример 2. Применяя метод сеток с шагом h = τ =1/3, найти решениеуравнения Лапласа в квадрате с вершинами А(0,0), В(0,1), С(1,1), D(1,0), удовлетворяющее краевым условиям U(0,y) = 30·y; U(x,1) = 30·(1-x2); U(1,y)=0; U(x,0)=0. Решение. Конечно-разностные уравнения для уравнения Лапласа при h = τ = 1/3имеют вид: U0,J = 0,25· , (12.16) (ГУ) U0,J = 30·J·h; U3,J = 0; (12.17) (НУ) (Ul,0 = 0; Ul,3 = 30·(1-(l·h)2) , (12.18) где x = l·h, y = J·h, l = 1,2,3, J = 0,1,2,3 . Составим таблицу Ul,J (табл. 12.2) Таблица 12.2
Первая и последняя строки этой таблицы получены из граничных условий (12.17), а первый и последний столбцы - из (12.18).
Ul,1, Ul,2, U2,1, U2,2 находимиз следующей системы линейных алгебраических уравнений, которые получены из расчетной формул (12.16):
.
ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Контрольная работа № 5 Вычислить значение интеграла , , а = 0, b = 0, . Выберем формулу для приближенного вычисления заданного определенного интеграла. Для чего найдем по формулам (9.4), (9.6), (9.10) число n точек разбиения отрезка [0,1] на частичные, которые обеспечат требуемую точность при вычислении по формулам прямоугольников, трапеций и парабол соответственно. А затем остановимся на той из приближенных формул, для которой число n будет наименьшим. Чтобы воспользоваться формулами (9.4), (9.6), (9.10), вычислим и оценим первую, вторую и четвертую производные подынтегральной функции на отрезке [0,1]: , , , и так как функция f(x) и ее производные убывают на отрезке [0,1], то , , . Найдем n. Для формулы прямоугольников из (9.4) получаем . Для формулы трапеций из (9.6) получаем , . Для формулы парабол из (9.10) получаем ; .
Таким образом, наименьшего объема вычислений при одинаковой точности потребует формула парабол (9.8) – n = 2m = 8 (n должно быть четным), применяя которую и вычислим приближенно заданный интеграл. По числу n = 2m = 8 найдем шаг интегрирования . Составим таблицу (табл.1.) значений подынтегральной функции в точках xi = ih, , записывая ординаты с четными и нечетными номерами в разные столбцы. В последней строке таблицы запишем результаты суммирования по этим столбцам. Вычисление будем вести с четырьмя знаками после запятой, а окончательный ответ округлим до трех знаков после запятой. Применяя формулу парабол (9.8), получим Вычислим заданный интеграл по формуле Ньютона–Лейбница . Итак, требуемая точность вычислений достигнута.
Таблица 1
Контрольная работа № 6 Пусть дано: ; у(0)=1; x [1,2] . Шагом интегрирования h = 0,2 отрезок [0,1] разбивается на пять равных частей точками х0 = 0, х1 = 0,2, х2 = 0,4, х3 = 0,6, х4 = 0,8, х5 = 1,0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-11; просмотров: 285. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |