Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. Пусть функция f(x) задана значениями ; ; …; в равноотстоящих узлах интерполяции , , …, и требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что ; ; …; . В силу единственности многочлена степени n, построенного по n + 1 значению функции f(x), многочлен Рn(x) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и совпадает с Лагранжа. Будем искать f(x) в виде
. (7.3)
В этом выражении неизвестны коэффициенты а0, а1, а2, …, аn . Найдем а0, положив х = х0, тогда
.
Чтобы найти коэффициент а1, составим первую конечную разность для многочлена Рn(x) в точке х. Согласно определению конечной разности имеем
. Проведя подстановку, получим
Вычислим первую конечную разность многочлена Рn(x) в точке х0. Здесь так же все члены, кроме первого, обратятся в ноль и, следовательно,
, но ; ; . Чтобы определить коэффициент а2, составим конечную разность второго порядка: . После преобразований получим
Полагаем х = х0: тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в ноль и
, .
Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х = х0, получим общую формулу для получения коэффициентов . Подставив найденные значения коэффициентов аi в выражение (7.3), получим первую интерполяционную формулу Ньютона.
(7.4)
На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде:
, где , h – шаг интерполирования и q – число шагов. Если n = 1, то получим формулу линейного интерполирования
. При n = 2 получим формулу параболического или квадратичного интерполирования . Эти формулы удобно применять в начале таблицы, когда q мало по абсолютной величине.
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона. Пусть на [a,b] даны n + 1 различные значения аргумента х0, х1, …, хn ,, которым соответствуют следующие значения
; ; …; ,
а шаг интерполяции постоянен и равен h, т.е. . Построим интерполяционный многочлен вида
В этом многочлене неизвестны коэффициенты а0, а1, а2, …, аn . Их надо подобрать так, чтобы были возможны равенства: ; ; … ; . Для этого необходимо и достаточно, чтобы . Коэффициент а0 найдем, положив х = хn в равенстве (7.4)
откуда
Отсюда, полагая х = хn-1 имеем , следовательно . Из выражения для второй конечной разности имеем а2
Полагая х = хn-2, получим , откуда , . Подставляя найденные значения коэффициентов, получим :
Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Положим q = (x - xn)/h, тогда
; ;
(7.5)
Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [a,b], а вторая – на конечном участке таблицы.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-11; просмотров: 286. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |