Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций
Процессы последовательных приближений и метод Зейделя для линейных систем х = b + aC сходятся к единому решению, независимо от выбора начального вектора, если или .
Таким образом, для сходимости вышеуказанных итерационных процессов достаточно, чтобы значения элементов aij при i ¹ j были небольшими по абсолютной величине. Это равносильно тому, что если для линейной системы АХ = В модули диагональных коэффициентов каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов), то итерационные процессы для этой системы сходятся, т.е. мы имеем систему . Причем, если то процессы последовательных приближений и Зейделя для данной системы сходятся. Применяя элементарные преобразования, линейную систему АХ = В можно заменить такой эквивалентной системой Х = р + aХ, для которой условия сходимости будут выполнены.
ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
При решении практических задач, часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде , где и – заданные функции, определенные на некотором числовом множестве Х, называемом областью допустимых значений уравнения или если обозначить левую часть за , то получим уравнение . Совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными называют системой уравнений.
Итерационные методы решения нелинейных уравнений
А). Метод простой итерации.
Представим уравнение через и многократным применением формулы до тех пор, пока не даст , где – заданная погрешность вычисления.
б). Метод деления отрезка пополам (Дихотомии). Для : 1. находим ; 2. вычисляем ; 3. если , задаем , иначе . 4. Проверяем условие : если оно выполняется, идем к п.1., если не выполняется, заканчиваем вычисление и считаем, что приблизительно равен искомому решению исходного уравнения с заданной точностью .
Число итераций при использовании этого метода
. в). Метод Хорд. Пусть имеем уравнение , где - непрерывная функция на , имеющая непрерывные и . Корень считается отделенным и находится на отрезке , т.е.
Уравнение хорды проходящей через точку А0 и В (см. рис.5.1, рис.5.2)
Рис. 5.1
Рис. 5.2 имеет вид . Найдем х = х1, для которого y = 0 . Если корень нас не устраивает, то мы находим ; ; . . .
.
Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки. (рис.5.3): , .
Рис. 5.3 , , . . . .
Неподвижными концами отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной .
Г). Метод Ньютона. Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют постоянные значения на всем отрезке [a, b]. Геометрический смысл метода Ньютона в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.
Первый случай (рис.5.4):
f(a) < 0 , f(b) > 0 , > 0 , > 0(основная линия) или f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , < 0(пунктирная линия) . Рис. 5.4
Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B0
. Полагая y = 0 , x = x1 , получим ,
, . . .
. Второй случай (рис. 5.5):
f(a) < 0 , f(b) > 0 , > 0 , < 0(основная линия)
или f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , > 0(пунктирная линия),
.
Рис. 5.5
Полагая y = 0 , х = х1, получим , , . . . , .
При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком , т.е. , a = x0 . д). Модифицированный метод Ньютона. Заключается в том, что вместо вычисления производной на каждом шаге итераций находится ее приближенное значение
, .
Следовательно, итерационная формула имеет вид
.
Значение не обязательно должно быть постоянно. Равенство позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.
Метод Рыбакова Можно рассматривать этот метод как модификацию метода Ньютона. При замене некоторым числом , где – значение х на [a, b] , при котором производная максимальна. При сходимость не нарушается, но замедляется. Метод Рыбакова удобен для поиска всех корней уравнения f(x) = 0 на [a,b] . 1. Задаем начальные значения х = х0 = а . 2. Для каждой последовательной итерации ( n = 0, 1, 2, …) вычисляем и проверяем условие xn < b, если оно выполняется, то, значит, найдены все корни, в противном случае проверяем выполнение условия . Если оно не выполняется, то повторяем цикл с пункта 2 и переходим к пункту 3. 3. Задаем начальное приближение и снова идем на пункт 2. Метод наискорейшего спуска
Распространенным методом минимизации функций большого числа переменных является метод градиентного спуска. Последующее приближение получается из предыдущего смещением в направлении, противоположном градиенту функции F(x). Каждое следующее приближение ищется в виде . Приведенное описание не определяет алгоритм однозначно, т.к. ничего не сказано о выборе параметра . Его можно определять из условия минимума величины . В этом случае рассматриваемый метод называют методом наискорейшего градиентного спуска. Для функции , соответствующей системе линейных уравнений с матрицей , задача нахождения минимума решается в явном виде так как и . Обозначим через , т.е.
.
Предположим, что . Учитывая, что , вычислим :
,
.
ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ
1. Математическая постановка задачи интерполирования. В экономике и технике, часто приходится сталкиватьcя с необходимостью вычисления значений функции у = f(х) в точках, отличных от значения аргумента, фиксированных в таблице. Подобные задачи практики формализуются как математические задачи интерполирования. Пусть на отрезке [a, b] задана функция у = f(х) своими n + 1 значениями ; ; … ; в точках x0, x1, …, xn , которые назовем узлами интерполяции. Требуется найти аналитическое выражение табулированной функции F(х), совпадающее в узлах интерполяции со значениями заданной функции,
т.е. ; ; … ; .
Процесс вычисления значений функций в точках х, отличных от узлов интерполяции, называется интерполированием функции f(х). Если аргумент х находится за пределами отрезка интерполирования [x0 , xn], то задача определения значения функции в точке х называется экстраполированием. Задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции f(х) для функции у = f(х), заданной своими n+1 значениями, выбрать многочлен Fn (x) степени не выше n, такой, что
; ; … ; . Многочлен Fn(x) удовлетворяющий этим условиям, называют интерполяционным многочленом, а соответствующие формулы – интерполяционными. В случае, когда F(x) выбирается в классе степенных функций, интерполяция называется параболической.
При интерполировании возникает ряд задач:
1. Выбор наиболее удобного способа построения интерполяционной функции для каждого конкретного случая. 2. Оценка погрешности при замене f(x) интерполирующей функцией F(x) на отрезке [a, b]. 3. Оптимальный выбор узлов интерполяции для получения минимальной погрешности. |
|||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-11; просмотров: 288. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |