Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Понятие предела для векторов и матриц
Пусть дана последовательность векторов
; ; … (3.1)
с координатами ; … . Если у каждой координаты существует предел , т.е. … , … , …, … то вектор называется пределом последовательности векторов . Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц
; ; (3.2)
… ;
.
с элементами aij(1), … , aij(k); где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n; то пределом последовательности матриц А(1), … , А(k) называется матрица с элементами . Сама же последовательности А(1), ... , А(k) называется сходящейся к А, т.е.
А(k) = А или . Из сказанного выше следует следующее утверждение: Если последовательность матриц А(1) , … , А(k) имеет пределом собственную матрицу А и вектора В(1) ,…, В(k) сходятся к В, то решения систем А(1)Х = В(1), … , А(k)Х = В(k) имеют предел, являющийся решением системы АХ = В, т.е. Х(k) = (А(k))-1 В(k) А-1В . Метод простой итерации
Пусть дана система линейных уравнений:
. (3.3)
В матричном виде:
, ; ; . (3.4)
Предполагая, что диагональные элементы aii ¹ 0 ,(j= 1, 2, …, n), выразим х1 через первое уравнение системы, х2 – через второе, и т.д.
; ; … (3.5) .
Обозначим , , где i = 1, …, n; j = 1, … , n , тогда (3.6)
Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду.
Введя обозначения , . Запишем систему (3.3) в матричной форме или . (3.7)
Решим систему (3.7) методом последовательного приближения, за нулевое приближение возьмем столбец свободных членов:
- нулевое приближение;
- 1-е приближение ;
- 2-е приближение .
Любое приближение вычисляется по формуле X(k+1) = b + aХ(k). Если последовательность приближения X(0), X(1), …, X(k) имеет предел X = lim X(k) при k ¥, то этот предел является решением системы (3.6) . Поскольку по свойству предела lim X(k+1) = b +a lim X(k) , k ¥, тогда X = a + bХ. Условия сходимости итерационного процесса Пусть дана приведенная к нормальному виду система линейных уравнений X = b + aХ. Итерационный процесс и его сходимость зависят от величины элементов матрицы a следующим образом: если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится к единственному решению независимо от выбора начального вектора. Следующее условие сходимости можно записать так: Сходимость итерационного процесса связана с нормами матрицы a следующими соотношениями. Если выполняется одно из условий: , либо , либо ,
то процесс итераций линейной системы сходится к единственному решению.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-11; просмотров: 255. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |