Приближённая интеграция диф уравнений.

Приближенными называют методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности функций, причем каждый член этой последовательности выражается через элементарные функции или квадратуры. Эти методы удобны, когда большую часть промежуточных выкладок удается осуществить точно

Многие способы приближенного решения дифференциальных уравнений основаны на методах доказательства теоремы существования и единственности. Например, метод разложения решения в степенной ряд позволяет найти несколько первых членов ряда Тейлора для искомого решения, что дает хорошее приближение для этого решения вблизи точки х_0.

Для приближенного интегрирования дифференциальных уравнений можно воспользоваться степенными рядами либо в виде ряда Маклорена

, (13)

либо в виде ряда (14)

с неопределенными коэффициентами.

При интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений удобнее пользоваться рядом (13). Варианту (14) отдается предпочтение при интегрировании линейных дифференциальных уравнений.

Применение ряда Тейлора состоит в следующем. Записав решение дифференциального уравнения в виде ряда Тейлора, пользуемся самим уравнением и заданными начальными условиями для определения производных от искомой функции, которые затем подставляют в решение.