Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определитель матрицы.Обратная матрица
Матрицы Определители Практикум
Матрицы и действия над ними Размерностью матрицы (обозначается ) называется количество её строк и столбцов . 1) Сложение матриц: Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, элементы которой определяются по формулам : (1.1) . Для обозначения суммы матриц используют запись . Свойства сложения матриц: 1. Коммутативности ; 2. Ассоциативности . Эти свойства позволяют нам не заботиться о порядке следования слагаемых матриц. 2) Умножение матрицы на число: Произведением матрицы на вещественное число l называется матрица той же размерности, что и матрица , элементы которой определяются по формуле: (1.2) .Для обозначения произведения матрицы на число используется запись . Свойства умножения матрицы на число: 1. Ассоциативности относительно числового множителя: ; 2. Дистрибутивности относительно суммы чисел: ; 3. Дистрибутивности относительно суммы матриц: . Из операции умножения матрицы на число можно определить разность матриц как . 3) Транспонирование матриц: Матрица называется транспонированной к матрице (обозначается ) если ее элементы определяются по правилу: (1.3) . Свойства операции транспонирования матрицы: 1) ; 2) 3) . 4) Перемножение матриц: Произведением матрицы на матрицу называется матрица элементы которой определяются по формуле: (1.4) .Матрица называется произведением матрицы и что записывается . Из формулы видно, что матрицы перемножаются только в том случае, когда число столбцов первой матрицы, совпадает с числом строк второй матрицы. Формулу (1.4) можно рассматривать как совокупность скалярных произведений вектор-строк матрицы на вектор-столбцы матрицы . Свойства перемножения матриц: 1) - свойство ассоциативности; 2) - свойство дистрибутивности относительно суммы матриц; 3) - свойство ассоциативности относительно числового множителя; 4) - свойство антикоммутативности. Практикум 1.Вычислить : 1) , , . 2) , , . 2.Для данных матриц: а) проставить размерность; в) протранспонировать матрицы; с) перемножить, если это возможно. 1) , , , ; . 2) , , , ; . 3. Решение типового задания 1.Для данных матриц , , вычислить : Решение: Прежде чем производить линейные действия над матрицами, необходимо убедится в том, что их размерности совпадают. Все три матрицы имеют размерности по количеству строк и столбцов соответственно. Действия выполняем согласно формулам (1.1) и (1.2). . . Для данных матриц , , , , . а) проставить размерность; б) протранспонировать матрицы; в) перемножить, если это возможно. Решение: а) Размерность матрицы определяется количеством её строк и столбцов. Матрица имеет две строки и два столбца, матрица - две строки и один столбец, и т.д. Поэтому: , , , , . б) Протранспонируем заданные матрицы. Для этого соответствующие строки матриц запишем столбцами: , , ; , . в) Рассмотрим операцию перемножения. Перемножить можно лишь те матрицы в которых количество строк первой матрицы совпадает с количеством столбцов второй матрицы. МатрицаА имеет размерность , а матрица – размерность , поэтому матрицы перемножить можно и в результате перемножения мы получаем матрицу-столбец размерности соответствующей крайним индексам матриц и : . . Рассмотрим подробно вычисление элементов матрицы . Данная матрица в символьном виде записывается так: . Она состоит из двух элементов обозначенных индексами: и . 1) Для первого элемента и , тогда формула (1.4) примет вид: . Индекс суммирования , изменяется от до т.е. суммирование элементов производится по внутренним индексам (они подчеркнуты). Распишем сумму: . Для следующего элемента поступаем аналогично: . 2) Перемножение матриц можно определить через скалярное произведение вектор-строки матрицы на вектор-столбец матрицы . Для нахождения элемента возьмем первую вектор-строку матрицы и умножим её скалярно на первый вектор-столбец матрицы : ; . Т.е. матрицы умножаются -ая строка на -ый столбец. В обратном порядке эти матрицы перемножать нельзя. Произведение не определено, т.к. внутренние индексы (они подчеркнуты) различны и мы не можем произвести по ним суммирование. Перемножим теперь матрицы и . Внутренние индексы совпадают, следовательно, произведение данных матриц определено и в результате получится матрица размерности . Матрица в символьном виде записывается так: . Необходимо определить шесть элементов , для этого возьмем соответствующую -ую строку матрицы и умножить её на -ый столбец матрицы .
Поясним, как вычисляется, например элемент . Для этого мы взяли вторую вектор-строку матрицы и умножили ее скалярно на второй вектор-столбец матрицы : . Или для вычисления элемента . Определитель матрицы.Обратная матрица Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами. 1) Детерминантом матрицы порядка 1 называется единственный элемент этой матрицы: (2.1) 2) Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу: (2.2) из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали. 3) Для определителя третьего порядка применяют следующее правило: 1)Правило параллельного переноса. (2.3) т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки). 2) Правило треугольника. (2.4) 4) Детерминантом матрицы порядка , при , называется число, определяемое формулой: (2.5) или (2.6) где - определитель матрицы А, порядка , полученный вычеркиванием из начальной матрицы i–ой строки и j–го столбца, и называемый минором элемента матрицы А. Формула (2.5) называется разложением определителя по строке, формула (2.6) – разложением по столбцу. Алгебраическим дополнением элемента матрицы А, называется произведение числа на минор данного элемента и обозначается . (2.7) Свойства определителя: 1)(равноправность строк и столбцов) Определитель не изменится, если поменять местами строки со столбцами (т.е. ). 2) Перестановка двух строк определителя (или двух столбцов) равносильна умножению определителя на . Четное количество перестановок не меняет знака определителя. 3)Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю. 4)Умножение всех элементов некоторой строки на число равносильно умножению определителя на число . 5) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю. 6) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя пропорциональны какой-нибудь другой строке (столбцу), то определитель равен нулю. (Следует из свойств 3 и 4). 7)(Линейное свойство определителя)Если в определителе -го порядка некоторая -ая строка является линейной комбинацией двух других строк и с коэффициентами и , то , где - определитель у которого -ая строка равна , а - определитель у которого -ая строка равна , а все остальные строки те же, что и у основного определителя. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке (столбца) другую строку (столбец); 3) перестановка строк(столбцов). 8) Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. 9.)Треугольный определитель равен произведению диагональных элементов = . нижний треугольный верхний треугольный определитель определитель Матрица - называется невырожденной (неособенной или несингулярной)матрицей если . В противном случае - особенная (вырожденная или сингулярная). Теорема:Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, вычисляемую по формуле: . (2.8) Свойства обратной матрицы: 1. , 2. , 3. если - неособенные матрицы одного порядка. 5. Практикум 1.Для данной матрицы вычислить определитель: 1) методом параллельного переноса; 2) методом треугольника; 3) разложением по -ой строке и по -му столбцу; 4) вычислить, получив нулевые элементы в первом столбце используя элементарные преобразования со строками; 5) вычислить обратную матрицу . 1) , , 2) , ; 6. Решение типового задания Для данной матрицы , вычислить определитель: 1) методом параллельного переноса; 2) методом треугольника; 3) разложением по -ой строке и по -му столбцу; 4) вычислить, получив нулевые элементы в первом столбце используя элементарные преобразования со строками; 5) вычислить обратную матрицу и проверить равенство . Решение. 1) Согласно правила параллельного переноса, допишем к нашему определителю две первые строки и сделаем действия согласно схеме (2.3)
. 2) согласно схеме (2.4) вычислим определитель методом треугольников:
. 3) разложением по элементам 2-ой строки:
Выпишем миноры и вычислим их: , , . Наше разложение по второй строке имеет вид: . Разложением по элементам 3-его столбца:
Аналогично предыдущего пункта записываем миноры, вычисляем их, получаем: . 4) Используя элементарные преобразования со строками, получим нулевые элементы в первом столбце. Для этого: 1) умножим третью строку на (-2) и прибавим к первой строке, ; 2) умножим третью строку на (-3) и прибавим ко второй строке. ; Получили определитель эквивалентный исходному Полученный определитель разложим по элементам первого столбца 5) Вычислить обратную матрицу и проверить равенство . Решение: Вычислим определитель матрицы: . Т.к. определитель отличен от нуля, то матрица не является вырожденной и для нее определена обратная матрица. Для её нахождения протранспонируем матрицу и вычислим её алгебраические дополнения по формулам (2.7) ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Тогда обратная матрица согласно формуле (2.8) запишется в виде: . Сделаем проверку и убедимся, что
Вынесем числовой множитель и перемножим матрицы согласно формуле (1.4) . Обратная матрица вычислена верно.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 135. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |