Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Задача 1.Найти сумму элементов 3-го столбца матрицы В, Решение. При умножении матрицы размера на матрицу размера получится матрица размера (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее умножение матриц осуществляется по правилу: элемент матрицы , стоящий в i-той строке и к-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и к-того столбца матрицы С. Таким образом, чтобы найти , нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С: Аналогично, находим Тогда сумма этих элементов Задача 2.Найти , если . Решение. Вычислим определитель матрицы А: Так как , то - существует. Обратную матрицу находим по схеме Здесь - транспонированная матрица, которая получается из матрицы А, если поменять местами строки и столбцы: - союзная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов . Найдем алгебраические дополнения элементов по формуле где - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы . Получим
Итак, Наконец, находим обратную матрицу Задача 3. Найти сумму элементов 3-й строки матрицы , если
Решение. Вычислим определитель матрицы А: Запишем транспонированную матрицу
Так как надо найти сумму элементов 3-й строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-й строки матрицы :
Тогда элементы 3-й строки матрицы : Их сумма равна Задача 4. Дана система уравнений
Найти Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями Найдем - определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными
Чтобы найти , необходимо элементы 3-го столбца определителя заменить на столбец свободных членов системы Находим z:
Задача 5. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:
Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов
Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со 2-м. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей ~ Умножим 2-е уравнение на (-1):
Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с 1-м:
В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х). Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений Задача 6. Найти Решение. Воспользуемся формулой где - скалярное произведение векторов и . Вычислим : Найдем модули векторов
Тогда Задача 7.Вектор ортогонален вектору Найти Решение. Так как вектор ортогонален вектору ,то , и значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:
С другой стороны,
Итак, и Задача 8. Найти ,если
Решение. Проекция вектора на вектор определяется по формуле . Найдем координаты вектора :
Вычислим скалярное произведение векторов и :
и модуль вектора :
Тогда
Задача 9. Известно, что а угол между и равен Найти . Решение. Согласно определению векторного произведения имеет место формула Тогда Подставив исходные данные, получим Задача 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и,может быть найдена по формуле
где векторное произведение векторов и .
Примем , Вычислим координаты векторов и : Найдем векторное произведение этих векторов Тогда Следовательно, Задача 11.Определить , при котором компланарны векторы и Решение. Условие компланарности трех векторов имеет вид
где -смешанное произведение векторов и - вычисляется по формуле
Подставляя исходные данные, получим
откуда
Задача 12.Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках Решение. Найдем координаты векторов , , , на которых построена пирамида:
Вычислим смешанное произведение этих векторов
Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , равен
Задача 13.Записать уравнение прямой, проходящей через точки Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид Подставляя координаты точек А и В, получим
Задача 14.Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости. Тогда Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеет вид получим
Задача 15.Определить, при каких и параллельны прямые и Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности их направляющих векторов и Подставляя координаты и получим Тогда
Задача 16.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид
Вычисляем определитель
Получаем уравнение плоскости
Задача 17.Определить, при каком А прямая параллельна плоскости Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости: Применяя эту формулу для и получим т. е.
Задача 18.Найти точку пересечения прямой и плоскости Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой откуда Найдем значение t, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости Подставляя в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости
Задача 19.Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.
~ Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со 2-м уравнением. Получим
~ Разделим 2-е уравнение на (-4):
Возьмем в качестве следующей базисной переменной х и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с 1-м уравнением:
Запишем получившуюся систему уравнений: Выразим базисные переменные х и у через свободную переменную z: Обозначив , получим параметрические уравнения прямой Исключив параметр , перейдем к каноническим уравнениям прямой Задача 20.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно вектору Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов: Так как
то Тогда уравнение искомой плоскости будет иметь вид или Задача 21.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим - направляющие векторы прямых, Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А(-1; 0; 3). Так как получим или Задача 22.Найти собственные значения матрицы Решение. Собственные значения и матрицы А находим, решая характеристическое уравнение:
Задача 23.Найти координаты вектора в базисе Решение. При разложении вектора по базису , , необходимо представить в виде Здесь - есть координаты вектора в базисе , . Запишем это равенство в координатной форме Оно равносильно системе уравнений Решим систему, например, по формулам Крамера:
Тогда
Значит, координаты вектора в базисе , .
Задача 24.Определить вид и расположение кривой Решение. Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y: Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса с полуосями и центром в точке Задача 25. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид Действительная полуось этой гиперболы . Найдем а из соотношения Так как и Итак, искомое уравнение гиперболы или Задача 26. Вычислить Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, т. е. на Так как при каждая из дробей , стремится к нулю, получим Задача 27. Вычислить Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение
Задача 28. Вычислить Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида так как при числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, т. е. на
Задача 29. Вычислить Решение. При числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми. Так как при ~ , ~ , то ~ ~6x. Теперь можно воспользоваться формулой
где - бесконечно малые, причем ~ , ~ . Тогда Задача 30. Вычислить Решение. Это неопределенность . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела В данном случае Поэтому Задача 31.Вычислить Решение. При имеем неопределенность . Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов: Так как , , имеем неопределенность , которую раскрываем по правилу Лопиталя: Тогда
Так как получили неопределенность Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых:
при ~х, ~х. Тогда Задача 32. Найти Решение. Применяя формулы дифференцирования произведения и частного
получим Подставим в производную Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце работы. Задача 33. . Найти Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции: если то В данном случае поэтому
Тогда
Задача 34. Вычислить Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов: Получившуюся функцию дифференцируем как сложную Тогда Задача 35. Вычислить в точке Решение. Преобразуем данную функцию Вычислим частную производную , считая у константой: Найдем , считая х константой: Подставим вместо х и у координаты точки :
Тогда
Задача 36.Найти , если Решение. Функция задана в неявном виде – уравнением Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции: Так как то
Задача 37. , где Найти при Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции где имеем Так как то Тогда Задача 38.Найти , если Решение. Функция заданапараметрически – уравнениями . В этом случае можно воспользоваться формулой Так как то
Задача 39. Найти асимптоты кривой Решение. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Прямая является вертикальной асимптотой кривой если Прямая является наклонной асимптотой кривой если существуют конечные пределы Так как знаменатель дроби никогда не обращается в 0 (D=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты:
Тогда наклонная асимптота имеет вид Задача 40. Найти интервалы убывания функции Решение. Функция убывает, если , и возрастает, если Найдем Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:
Итак, функция убывает на интервале . Задача 41.Найти интервалы выпуклости функции Решение. Функция является выпуклой, если и вогнутой, если . Найдем ; Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:
Итак, функция выпукла при
Найти точки разрыва и установить их характер. Решение. Функция называется непрерывной в точке , если определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем Последнее равенство означает, что Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода. Если - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода. В том случае, когда - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода: - устранимый, если - со скачком, если (величина скачка ). Рассмотрим заданную функцию при . Здесь Функция не определена в точке , значит, в этой точке разрыв. Вычислим односторонние пределы: Итак, значит, при имеем устранимый разрыв I рода. Если то Функция не определена в точке значит, это точка разрыва. Вычислим односторонние пределы: Так как - точка разрыва II рода. В качестве точки, похожей на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция меняет свой вид. В этой точке функция определена: Найдем односторонние пределы: Итак, для точки односторонние пределы конечны и различны, значит, это разрыв I рода со скачком: Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при ; разрыв II рода при разрыв I рода со скачком при .
Задача 43.Найти максимальную скорость возрастания функции в точке М(2;1). Решение. Известно, что максимальная скорость возрастания функции равна модулю градиента, а сам градиент – это вектор Найдем градиент функции : Вычислим градиент в точке М (2;1): Тогда максимальная скорость возрастания функции
Задача 44.Найти производную функции в точке М (1;-3) в направлении вектора Решение. Производная функции по направлению вектора определяется по формуле где - направляющие косинусы вектора , Найдем частные производные функции : Их значения в точке М(1;-3) равны Вычислим направляющие косинусы вектора : Тогда производная функции по направлению равна |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 201. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |