Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Формула Тейлора для многочлена.
Розглянемо многочлен
,
де - дійсні числа. Продиференціюємо многочлен раз.
Якщо в наведених формулах покласти , то одержимо
Отже, можна записати
(1)
Нехай маємо многочлен за степенями , де - деяке стале дійсне число, тобто ,
де - дійсні числа. Поклавши , матимемо
.
Звідси аналогічно до попереднього, одержимо
(2)
Формула (1) є окремим випадком ( ) формули (2). Кожну із цих формул називають формулою Тейлора. Формулу (1) інакше називають формулою Маклорена.
Формула Тейлора для довільної функції Теорема Тейлора. Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що
(3)
Доведення. Позначимо Покладемо
Покажемо, що існує точка така, що
.
Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай - змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію
.
Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля: 1) неперервна на , 2) диференційована на , ( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію ) 3) на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно
Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .
Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то
.
Далі маємо:
.
Звідси одержуємо:
.
Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз - залишковим членом у формі Лагранжа. Оскільки , то , де . Тоді
, де .
Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді
При маємо формулу Лагранжа
Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно
. Отже, залишковий член можна подати у формі
при ,
яка називається формою Пеано. Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена
.
У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд
де ,
а в формі Пеано . Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) . Розв'язування. 1) . Оскільки , то . Отже, . 2) . Так як , то Звідси маємо 3) . ; ;
ЛЕКЦІЯ 21
25. Ознака монотонності функції. 26. Екстремальні точки. 27. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції. 4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.
Ознака монотонності функції Теорема . Якщо функція диференційована на інтервалі і на , то функція зростає (спадає). Доведення. Нехай для визначеності . Візьмемо в інтервалі дві довільні точки такі, що . На відрізку функція задовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точка така, що
.
Звідси випливає, що за умов і маємо: , тобто . Для випадку доведення аналогічне.
2. Екстремальні точки
Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує - окіл точки такий, що для будь-якої відмінної від точки . При цьому саме значення називається локальним максимумом (мінімумом) функції . Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму або екстремальними точками функції .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 506. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |