Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Системы линейных уравнений.
Алгебра матриц 1. Линейные действия с матрицами. Транспонирование. Квадратной матрицей порядка называется таблица из чисел , расположенных в строк и столбцов: (1)
Первый индекс i у элемента означает номер строки, второй индекс j – номер столбца, в которых стоит этот элемент. Диагональ называется главной диагональю матрицы .(добавить побочную) Две матрицы и одного и того же порядка считаются равными, если все соответствующие их элементы равны, т.е. = (i, j = 1,2 …,n). Матрицы разных порядков не сравниваются между собою. Линейными преобразованиями над матрицами называются сложение матриц и умножение их на число. Оба этих действия определяются поэлементно:
,
.
78 Свойства сложения матриц и умножения их на число:
1) 2) 3) (2) 4) 5)
Матрица , целиком состоящая из нулей, называется нулевой, для неё . Сложение матриц имеет обратное действие – вычитание, которое также осуществляется поэлементно, например если , , то
Операция над матрицей , при которой её строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием и обозначается . Например, если
, то .
Операция транспонирования обладает следующими свойствами: , , . (3)
Матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали , равны нулю, называется диагональной. Матрица называетсясимметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. . У симметрической матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны.Матрица называетсякососимметрической , если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. . У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали, отличаются только знаком. Определитель, составленный из элементов матрицы n-го порядка (1), называется определителем матрицы и обозначается .
264.Пусть , . Найти Решение . Пользуясь сочетательным и переместительным свойствами сложения матриц, имеем , Но , , Поэтому , и
. Полученная матрица представляет пример диагональной матрицы второго порядка.
265.Показать, что матрица - симметрическая, если
и . Решение. Имеем
= . Ясно, что полученная матрица S - симметрическая, так как она не меняется при транспонировании.
266.Показать, что матрица - кососимметрическая, если
и
Решение. Имеем
.
Так как , то матрица является кососимметрической.
267.Доказать, что для любой матрицы матрица симметрическая.
Решение. Применяя свойства (3) транспонирования, получим равенство , т.е. - симметрическая матрица.
268.Показать , что для матрицы n-го порядка выполняется равенство . Решение.При умножении матрицы на число все её элементы умножаются на . Вынося этот множитель из каждой строки за знак определителя (см. свойство 3, § 1, п.2), получим требуемое равенство.
269. Найти , если , .
270. Найти матрицу , если , . 271. Найти матрицу , если
, . 272. Показать, что матрица - кососимметрическая, если
, . 273. Показать, что матрица является нулевой матрицей, если
, .
274. Показать, что для любой матрицы матрица - кососимметрическая . Указание. Стр. 267. 275. Дана произвольная матрица , показать, что она может быть представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц. Указание. Рассмотреть матрицы и . 276. Выписать общий вид симметрической и кососимметрической матриц второго и третьего порядка. Найти их определители.
2. Умножение матриц.Произведение матрицы на матрицу (того же порядка) определяется следующим образом: для того, чтобы получить элемент - матрицы произведения , надо элементы i-ой строки матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы и результаты сложить, т.е. , (4) - произведение i-й строки матрицы на j-й столбец матрицы . Свойства. 1) . 2) . 3) . (5) 4) . 5) , где - единичная матрица. 6) , , (6) Заметим, что в общем случае , т.е. умножение матриц не обладает коммутативным свойством, поэтому всегда надо строго следить за порядком множителей. Матрицы, для которых выполняется равенство , называются перестановочными.
277. Найти произведение строки на столбец . Решение. Надо перемножить соответственные элементы и сложить результаты: . 278.Найти произведения и матриц: и . Установить, что матрицы и неперестановочны.
Решение. Пусть . Чтобы найти элемент , надо умножить первую строку матрицы на первый столбец матрицы :
Элемент произведения получается умножением первой строки на второй столбец :
Аналогично, умножая вторую строку на столбцы , найдём:
; Таким образом, . Умножая теперь строки на столбцы , получим (проверьте!) . Так как , то данные матрицы неперестановочны. 279. Найти произведение данных матриц третьего порядка:
, . Решение. Умножив по очереди строки матрицы на столбцы , получим
.
280. Найти все матрицы, перестановочные с . Решение. Пусть - искомая матрица , тогда , , и равенство соблюдается тогда и только тогда, когда , . Таким образом, общий вид матрицы, перестановочной с данной матрицей следующий: . 281. Показать, что произведение матрицы на транспонированную всегда является симметрической матрицей. 282. Матрица называется ортогональной, если выполняется условие , или .Доказать, что матрица - ортогональная, если
. Решение. Из симметричности матрицы следует, что , поэтому
283.Произвести умножение квадратных матриц в следующих примерах: а) , б) ,
в) , г) .
284. Показать, что матрицы и - перестановочны, если
, . 285. Найти матрицу , если
, . 286. Показать, что матрицы , перестановочны. Найти их произведение.
287. Найти все матрицы, перестановочные с данными:
а) , б) , в) . 288. Найти общий вид матрицы третьего порядка , для которой
. 289. Ненулевые матрицы и , для которых , называются делителями нуля. Показать, что определитель хотя бы у одной из этих матриц равен нулю. Указание. Использовать свойство умножения матриц (6).
290.Показать на примере матриц второго порядка , что равенство невозможно.
3.Степени матриц. Многочлены от матриц. Целая неотрицательная степень матрицы определяется равенством: и . p раз Для произведения степеней матриц справедливо равенство: (p, q = 0, 1, 2, …)
Если дан многочлен , то многочленом от матрицы называется матрица . Всякие два многочлена о матрицы перестановочны :
. Если (нулевая матрица), то матрица называетсякорнем многочлена.
291. Найти для матрицы . Решение. Вычисляем последовательно произведения по формуле (3):
, , и т.д.
Продолжая умножение, придём к формуле:
. 292. Матрица , у которой все элементы неотрицательны , а сумма элементов каждой строки равна единице, т.е. (i = 1, 2, …, n), называется матрицей переходных вероятностей или стохастической матрицей.Найти и стохастической матрицы
. Решение. Находим и (предварительно за знак матрицы выносится общий множитель ): ,
.
Заметим, что матрицы и также являются стохастическими матрицами; вообще можно показать, что любая степень стохастической матрицы также является стохастической матрицей.
293. Найти все степени матрицы . Решение.Имеем: , . Значит, . Ненулевая матрица , для которой при некотором значении , называется нильпотентной. Наименьшее из числе , для которых , называется показателем (индексом) нильпотентности . В этом примере = 3. 294. Найти многочлен от матрицы , если , а . Решение. Искомая матрица определяется равенством: . 295. Показать, что матрица - корень многочлена . Решение. Имеем . Т.е. - корень многочлена . 296.Найти для следующих матриц: а) , б) , в) . 297. Найти все степени матриц и . 298. Матрица называетсяинволютивной, если и идемпотентной, если . Найти общий вид инволютивной и идемпотентной матрицы второго порядка. 299.Найти , если: а) , ;б) , ; в) , . 300.Найти общий вид матриц второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице, т.е . 301.Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен диагональной матрице , . 302.Найти условие, при котором матрица второго порядка перестановочна со всеми матрицами второго порядка . 303.Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы второго порядка, для того, чтобы она была перестановочна со всеми диагональными матрицами того же порядка?
4.Обратная матрица .Матрица называется обратной матрице , если . Для того, чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной , т.е. чтобы . Обратная матрица определяется по формуле , (7) где - алгебраические дополнения элементов в определителе . Алгебраические дополнения для строчек матрицы записываются в столбцы матрицы (7). Так, например, в первом столбце этой матрицы стоят алгебраические дополнения первой строки матрицы . С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида: и (при .) (8) Умножая первое уравнение на слева, а второе на справа, получим их решение в виде: и .(9) Свойства. 1) . 2) . (10) 3) . 4) .
304. Найти обратную матрицу для матрицы . Решение. Покажем сначала, что данная матрица невырожденная, тогда она имеет обратную матрицу. Действительно, . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы : , , , . Следовательно, матрица , обратная к , имеет вид: . Проверим правильность полученного результата: . 305.Найти матрицу, обратную для матрицы . Решение. Так как , то данная матрица является невырожденной. Вычислим алгебраические дополнения: , ,
Аналогично находим Таким образом, Вычислим произведение:
что показывает правильность полученного результата.
306.Решить матричное уравнение или . Решение. По формуле (9) имеем . Так как , то поэтому поэтому 307.Показать, что матрица , обратная симметрической матрице , будет тоже симметрической. 308.Найти матрицы, обратные для следующих:
а) , б) , в) , г) . 309.Решить следующие матричные уравнения: а) , б) ,
в) и , если , . 310.Показать, что если , то . 311.Как изменится обратная матрица , если в матрице переставить местами две строчки? 312.Показать, что если матрица не имеет обратной , то и её произведение на любую матрицу также не имеет обратной. 313.Две матрицы и называются подобными, если они связаны равенством , где -некоторая невырожденная матрица . Показать, что подобные матрицы имеют одинаковые определители.
5.Прямоугольные матрицы и элементарные преобразования матриц. Прямоугольная таблица чисел, расположенных в строках и столбцах, называется прямоугольной матрицей размера , или ( ) матрицей: . (11) Элементарными преобразованиями первого рода матрицы называютсяследующие действия: 1) Умножение какой-либо строки на число ; 2)Перестановка двух строк; 3)Прибавление к элементам одной строки соответственных элементов другой строки, умноженных на число . Элементарными преобразования второго рода матрицы называются аналогичные действия со столбцами. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду: Число r единиц, стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения матрицы к виду матрицы и называется рангом матрицы . Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями называются эквивалентными и соединяются знаком ~. У эквивалентных матриц одинаковые ранги.
314.Найти ранги следующих матриц . Решение. Подвергнем эту матрицу следующим элементарным преобразованиям. Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-4), а к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-10), затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-4). После этих преобразований полученная матрица примет вид:
.
Теперь первую строку умножим на 5 и на (-3) и прибавим соответственно ко второй и третьем строка, а затем переставим местами вторую и третью строки; тогда будем иметь матрицу: .
Далее, если умножить на (-1/5) и (-1/13) второй и третий столбцы, а затем вычесть из третьего столбца второй, то получим матрицу
.
Следовательно, ранг r данной матрицы равен двум, т.е. r=2. 315. Решение. Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц :
Следовательно, ранг этой матрицы равен двум. 316.Найти ранги следующих матриц: а) , б) , в) , г) , д) .
Системы линейных уравнений. 1.Формулы крамера.Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Определитель n-го порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. В зависимости от определителя системы различают следующие случаи:
а)Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение, которое может быть определено по формулам Крамера: (2) Где определитель n-го порядка (i=1, 2,…, n) получается из путём замены i-го столбца свободными членами ; б)Если , но хотя бы один из (i=1, 2,…, n), то система (1) совместна; в)Если и (i=1, 2,…, n), то система (1) либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений [в последнем случае хотя бы одно уравнение системы (1) – следствие других ]. 317.Решить систему Решение.Определитель системы Поэтому решение её определяется по формулам Крамера: и Но тогда
Геометрически каждое из уравнений и определяет прямую на плоскости x0y, и поэтому решение определяет точку пересечения этих прямых. 318. Исследовать систему Решение. Определитель данной системы , но определить что показывает несовместность системы. Геометрически это означает , что данные прямые не пересекаются, т.е. параллельны. 319. Решить систему . Решение. Определители так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.
Найти все решения следующих систем: 320. 322. 321. 323. . 324.Решить систему Решение. Вычисляем определители:
Так как , то данная система имеет только одно решение . Находим его по формулам Крамера:
Решить следующие системы: 325. 326. 327.
328. 2.Решение системы с помощью обратно матрицы. Пусть дана система (1). Её можно записать в матричной форме , (3) Где - матрица из коэффициентов при неизвестных, а и - столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица - невырожденная, т.е. определитель системы , то, умножая обе части уравнения (3) на матрицу слева, получаем решение системы в матричной форме:
Найти решение следующих систем с помощью обратной матрицы: 329. Решение. Здесь , значит матрица - невырожденная и искомое решение имеет вид (4): Отсюда
330. Решение. Определитель системы , и тогда откуда и следует, что 331. 332. 333.
334. 335. 3.Однородная система линейных уравнений.Система (1) называется однородной, если все свободные члены в матричной форме однородная система имеет вид
,(5)
где 0 – нулевой столбец. Однородная система всегда обладает тривиальным – нулевым решением:
т.е всегда совместна.
Если определитель системы то нулевое решение будет её единственным решением. Для того, чтобы система (5) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю. Заметим, что система (5), имеющая одно ненулевое решение, имеет бесчисленное множество решений; если и , то при любом . Пусть дана однородная система, например, трёх уравнений с тремя неизвестными (5`)
Здесь могут быть следующие случаи: а) Если , то ненулевое решение - единственное; б) Если , но один из миноров второго порядка определителя отличен от нуля, тогда одно из уравнений системы является следствием двух других уравнений и данная система уравнений сводится к системе двух уравнений с тремя неизвестными, имеющей бесчисленное множество ненулевых решений ; в) Если и все миноры второго порядка определителя равны нулю, то система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными , следовательно, данная система также имеет бесчисленное множество ненулевых решений.
Найти все решения следующих однородных систем: 336. Решение. Вычислим определитель системы:
.
Поскольку , то данная система имеет только одно ненулевое решение:
337. Решение. Определитель данной системы Поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строчках, отличны от нуля, например,
Здесь для получения третьего уравнения надо прибавить к первому удвоенное второе (проверить!), т.е. третье уравнение- следствие первых двух, и система сводится к двум уравнениям: Задавая произвольно одно из них, например Z, из этих двух уравнений найдём значения X и Y. Полагая в данном случае Z=h, получим
, откуда
Следовательно, решение системы можно записать в виде:
,
где h – произвольно число.
338. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 209. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |