Ломаные Эйлера и теорема Пеано.

       Пусть G – область в  (или в ), а отображение (или ) непрерывна на G. Тогда  существует решение задачи Коши:

определенное на  (единственности может не быть).

Доказательство:

◄ Пусть  тогда существует область  компактно лежащая в G. То есть

1.  - ограничена,

2. замыкание

Такая, что  (так как G – открыта, то в качестве  можно взять окрестность точки , лежащей в G), то по теореме Вейерштрассе , , . Поэтому , что конус

, .

(в силу открытости G*)

Построим ломаные Эйлера (будем доказывать “вправо”, то есть на ; “влево” аналогично).

Узлы ломаной Эйлера:

Уравнения ломаной Эйлера:

,

где . Как в прошлом семестре, получим, что  – обобщенное решение задачи Коши:

,

где , то есть  удовлетворяет интегральному уравнению .

Аналогично (см. I семестр) графики ломаных Эйлера при всех  лежат в Q, отсюда следует, что семейство ломаных Эйлера равномерно ограничено при . Покажем, что оно равностепенно непрерывно. Имеем:

=

семейство равностепенно непрерывно .

Придадим h последовательность значений . По лемме Арцелы из соответствующей последовательности ломаных Эйлера  можно выделить равномерно сходящуюся на  к некоторой непрерывной функции (векторной)  подпоследовательность . Покажем, что  – решение интегрального уравнения  (3). Заметим, что график  лежит в Q (в силу замкнутости Q).

Сделаем оценки:

+ + +

при , так как

 = ,

при , на  в силу оценок ,

и равномерной непрерывности на  непрерывной функции  (по теореме Кантора).

Аналогично:  при  на  в силу оценок ,  по построению и равномерной непрерывности f на , отсюда следует  – решение интегрального уравнения (3) и, в силу непрерывности  решение задачи Коши (1), (2) (как и в первом семестре). ►

Аналогично прошлому семестру доказывается теорема о продолжении решения в  - окрестности границы области и вплоть до границы области (“липшицевость” не нужна). Как было отмечено выше в теореме Пеано единственности нет.

Теорема о единственности решения задачи Коши для систем ОДУ. Следствие для ОДУ n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.

Теорема:

       Пусть в условии теоремы Пеано функция  удовлетворяет условию Липшица по y то есть , тогда решение задачи (1), (2) единственно.

Доказательство:

◄ Пусть  и  – решения задачи (1), (2) на , тогда

–

 = .

По замечанию к лемме Гронуолла:

 на  ►

Следствия для ОДУ n-го порядка.

Теорема:

       Пусть G – область в  или , а функция ,  непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица по z, Тогда  существует единственное решение задачи Коши:

,

определенное в окрестности точки .

Доказательство:

◄ Для доказательства достаточно перейти к нормальной системе и использовать предыдущие теоремы ►

Следствия для линейной системы.

Теорема:

       Пусть в системе

, (1)

где

 функции  и  непрерывны на , со значениями в С.

Тогда:

1) ;

2)  существует единственное решение задачи (1), (2), где (2);

3) определенном на всем .

Доказательство:

◄ Пусть  – произвольная точка из , а  – произвольный вектор из . По теореме Вейерштрассе , , покажем, что  удовлетворяет условию Липшица по y (заметим, что  непрерывна на ). Имеем

=

.

По доказанным теоремам существует единственное решение, определенное в окрестности  точки . Оценим решение  задачи (1), (2):

= + + + + + + + + +

По замечанию к лемме Гронуолла  

при некотором . Продолжим решение  вплоть до границы области , .

                                                                  В силу  график не может выйти на границу

                                                    боковой части.

                                                                  В силу  график  выйдет на границу  

                                      K                    только при  и при  продолженное

                       y(x)                                определено на всем

    0    a              b                           

                                                                  ►

Следствия для линейной ОДУ n-го порядка.

Теорема:

       Пусть в уравнении

 (1).

 и  непрерывны на  со значениями в С, тогда:

1) ,

2) Для любого набора комплексных чисел ! решение задачи Коши (1), (2), где

 (2),

3) определенное на всем

Доказательство:

◄ Для доказательства достаточно перейти к нормальной линейной системе. ►