Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Поверхности второго порядка
Параболоиды Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности Цели занятия: научиться строить поверхности типа параболоидов; изучить конические и цилиндрические поверхности. Роль и место лекции В лекцией рассмотрены такие важные типы поверхностей, как цилиндрические и конические. Материал ограничивается случаями плоской направляющей и прямой образующей. Приведенные в этой лекции сведения, необходимы при изучении тем «Поверхности уровня» и «Дифференциал функций многих переменных и его приложения», и т. д. Обратите внимание на поверхности типа гиперболического параболоида. 1. Параболоиды Сферический и эллиптический параболоид Определение 1. Параболоидом вращения называется поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Получим поверхность, вращая кривую – параболу, вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид или . (1) Если параболоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получится эллиптический параболоид
Данные поверхности изображены на рис. 1. Гиперболический параболоид Исследуем методом сечений поверхность . (3) 1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – две прямые. Cделаем сечение плоскостью . Тогда – гипербола. 2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – парабола. 3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – парабола. Дополнительно сделаем сечение плоскостью . Тогда - парабола. Т. к. в сечениях две параболы, одна гипербола, следовательно, это гиперболический параболоид рис. 2.
Определение 2. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой (образующей), параллельно самой себе и пересекающей заданную линию (направляющую). Пусть l – образующая прямая , L – направляющая, заданная в плоскости . Тогда поверхность будет иметь вид рис. 3. Возьмем на поверхности некоторую точку . Очевидно . Следовательно, обе точки имеют одинаковые координаты x, y и при этом в не зависимости от координаты z. Следовательно, уравнение направляющей есть уравнение цилиндрической поверхности, если оно рассматривается относительно координат в пространстве . (4) При этом образующая цилиндра будет параллельна оси координат одноименной с отсутствующей переменной. В зависимости от вида направляющей различают такие цилиндрические поверхности: а) параболический цилиндр рис. 4; б) круговой цилиндр рис. 5; в) эллиптический цилиндр рис. 6; г) гиперболический цилиндр рис. 7.
Определение 3. Конической поверхностью называют поверхность, образованную движением прямой (образующей), проходящей через заданную точку (вершину) и пересекающей заданную линию (направляющую). Пусть l – образующая прямая, L – направляющая, О – вершина. Тогда поверхность будет иметь вид рис. 8. В частном случае коническая поверхность может быть образовании вращением некоторой прямой вокруг оси . При этом согласно правилу построения поверхностей вращения или . (5) Уравнение (5) есть уравнение прямого кругового конуса. Исследуем эту поверхность методом сечений 1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – две прямые. 2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – две прямые. 3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – точка начала координат. Дополнительно сделаем сечение плоскостью . Тогда или – окружность. Поверхность изображена на рис. 9. Заключение
Отметим следующее: - существуют прямые полностью лежащие на поверхности гиперболического параболоида; - при деформации поверхности вращения, в конечном уравнении коэффициенты при переменных различны; - существуют и не прямые конические поверхности; - рассматривая уравнение плоской кривой второго порядка относительно пространственных координат, получим уравнение цилиндра. - цилиндр имеет бесконечную длину. Литература 1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001. 2. Рыжков В. В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000, – 208 с. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002. 4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998. 5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, – 659 с.
ЗАМЕТКИ
Александр Александрович Смирнов
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 342. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |