Масса инертная и масса гравитационная

Неинерциальные системы отсчета.

Силы инерции при ускоренном произвольном движении системы отсчета. Центробежная сила. Сила Кориолиса. Вес тела.

Общийслучай движения тела в неинерциальной сис­теме отсчета. Возьмем две системы отсчета К и К' (рис. 78), из которых К инерциальна, а К' неинерциальна.

(8.1)

Скорость точки т по отношению к системе К по определению равна

рис. 8. 1

скорость же по отношению к системе К¢ есть

где через d'r' - приращение радиуса-вектора г' по отношению к системе К¢..

Согласно (8.1) приращение радиуса-вектора r в К-системе

  (8.2)

где  (см. лекцию по кинематике)

(8.3)

Тогда:

(8.4)

Разделив это выражение на dt

                   (8.5)

Приращение вектора v,

(8.6)

Заменим в этой формуле dr' его значением (8.3), а dv' — аналогичным выражением:

(8.7)

dv' - приращение вектора v', наблю­даемое в системе К, a d¢v¢ — приращение v', наблюдаемое в системе К¢. Произведя замену, придем к выра­жению:

Или

Разделим найденное выражение на dt:

Или

 (8.8)

где а₀ — ускорение начала координат системы К' («по­ступательное» ускорение системы К').

Умножив вектор a_in=а-а¢на m и изменив знак на обратный, получим силу инер­ции. Согласно (8.8)

Следовательно,

(8.9)

Формула (8.9) содержит все виды сил инерции. Так, если система К¢ движется относительно системы К только поступательно, без вращения, сила инерции равна

 f_in = —mа₀. При наличии вра­щения появляются дополнительно кориолисова сила

(8.9.а)  и центробежная сила инерции , которую можно представить в виде (8.9.б).

Кориолисова сила возникает только в случае, когда тело изменяет свое положение по отно шению к вращающейся системе отсчета (при v' = 0 выражение для кориолисовой силы обращается в нуль) Сила Кориолиса всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Относительно всех инерциальных систем тело обладает одинаковым ускорением а. Поскольку любая НеИСО движется относительно ИСО с некоторым ускорением, ускоре­ние тела в НеИСО a' будет отлично от а. Обозначим разность ускорений тела в а_in:

  (8.10)

Если НеИСО  движется относитель­но инерциальной поступательно, то а совпадает с уско­рением неинерциалыюй системы отсчета. При враща­тельном движении различные точки неинерциальной системы имеют неодинаковое ускорение.

Пусть результирующая всех сил, обусловленных дей­ствием на данное тело со стороны других тел, равна f, Тогда согласно второму закону Ньютона

Ускорение же относительно НеИСО можно в соответствии с (8.10)представить в виде

Таким образом, даже если результирующая всех сил, приложенных к телу, будет равна нулю, тело будет дви­гаться по отношению к неинерциалыюй системе отсчета с ускорением —а_in, т. е. так, как если бы на него действо­вала сила, равная —та_in.

Следовательно, при описании движения в НеИСО можно пользоваться уравне­ниями динамики, справедливыми только для инерциальных систем, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так назы­ваемые силы инерции f_in, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обрат­ным знаком разность его ускорений по отношению к ИСО и НеИСО:

Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид

Пример

рис. 8.2

Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.

Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными силами.

Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета. Однако практически часто представляет интерес как раз движение тел по отноше­нию к неинерциальным системам отсчета, например по отношению к земной поверхности. Использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.

Центробежная сила инерции

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендику­лярной к нему оси z' с угловой скоростью  (рис. 8.3)

рис. 8.3

 (8.11)

Силу инер­ции (8.11), возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции.

Различные точки во вращающейся системе от­счета обладают различ­ным по величине и на­правлению ускорением по отношению к инерциальной системе. В соответ­ствии с этим центробеж­ная сила инерции зависит от положения тела во вращающейся системе от­счета.

Центробежная сила инерции действует на тело во вращающейся системе отсчета независимо от того, по­коится тело в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движется относительно нее со скоростью v'. При точном решении задач о движении тел относи­тельно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции.

Сила Кориолиса

При движении тела относительно вращающейся си­стемы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появ­ляется erne одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции.

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере. Возьмем горизонтально располо­женный диск, который мо­жет вращаться вокруг вер­тикальной оси. Прочертим на диске радиальную пря­мую О А (рис. 8. 4, а). Запу­стим в направлении от 0 к А шарик со скоростью v'. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой.

рис 8.4

если же диск привести во вращение в направлении, ука­занном стрелкой, то шарик будет катиться по изображен­ной пунктиром кривой 0В, причем его скорость относи­тельно диска v' будет изменять свое направление. Сле­довательно, по отношению к вращающейся системе от­счета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила f_к, перпендикулярная к скорости v'.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направ­ляющую, например, в виде ребра ОА (рис. 8.4,б). При

качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой f_r. Относительно вращающейся си­стемы (диска) шарик движется с постоянной по направ­лению скоростью. Это можно объяснить тем, что сила f_r уравновешивается приложенной к шарику силой инерции f_к, перпендикулярной к скорости v'. Эта сила  и есть кориолисова сила инерции. Будем искать ее по формуле (8.9.а), начав с рассмотрения частных случаев.

Случай 1. Тело движется в радиальном направле­нии с постоянной скоростью v', перпендикулярной к оси вращения (рис. 8.5); ось вращения перпендикулярна к

рис 8.5

Таким образом, приращение dv, которое получает за время dt скорость v, можно представить как векторную сумму трех приращений (см. рис. 8.5)

Разделив соответствующие составляющие dv на dt, мы получим составляющие ускорения а по отношению к неподвижной системе,

    (8.12)

Эта составляющая не зависит от v'; она существует и при v' = 0, Произведение этой составляющей на —т дает уже известную нам центробежную силу инерции.

Составляющая dv_x, равная сумме dv_xl и dv_X2, после деления на dt дает составляющую w_x ускорения w, мо­дуль которой равен

Или 

(8.13)

Умножив (8.13) на m и изменив знак на обратный, получим кориолисову силу инерции:

(8.14)

рис. 8.6

окружности, лежащей в пло­скости, перпендикулярной к оси вращения, причем центр окружности лежит на этой оси (рис. 8.6). По отношению

к вращающейся системе тело обладает центростреми­тельным ускорением, которое равно

где n — единичный вектор, перпендикулярный к v' и имеющий направление к центру вращения.

Скорость тела относительно неподвижной системы от­счета будет слагаться из двух перпендикулярных к ра­диусу R составляющих: v' и wR. В зависимости от на­правления скорости v' и направления вращения системы эти составляющие будут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Модуль скорости v бу­дет равен

где « + » соответствует одинаковым, а «—» противопо­ложным направлениям скоростей .

По отношению к неподвижной системе тело также будет двигаться равномерно по окружности, так что ускорение w можно записать следующим образом:

Первое слагаемое представляет собой ускорение а' относительно вращающейся системы. Следо­вательно,

 (8.15)

В соответствии с этим выражением сила инерции ока­зывается состоящей из двух компонент:

(8.16)

Первая из этих сил есть центробежная сила инерции, вторая — кориолисова сила.

Сила f_к перпендикулярна к векторам v' и R и имеет направление:

а) от центра, если скорости v' и  wR сов­падают по направлению (верхний знак в (8.16)),

б) к центру, если скорости v' и wR направлены в противо­положные стороны (нижний знак). Оба эти случая можно объединить в следующем выражении:

Примеры движений, в которых проявляется кориоли-сова сила инерции. При истолковании явлений, связан­ных с движением тел относительно земной поверхности, в ряде случаев необходимо учитывать влияние кориолисовых сил. Например, при свободном падении тел на них действует кориолисова сила,

рис. 8.7

обусловливающая от­клонение к востоку от линии отвеса (рис. 8.7 а). Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на по­люсах.

Летящий снаряд также испытывает отклонения, об­условленные кориолисовыми силами инерции (рис. 8.7 б). При выстреле из орудия, направленного на север, сна­ряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу — в южном.

При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведен в восточном направлении.

Сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся вдоль меридиана в любом направлении (на север илина юг), направлена по отношению к направлению движения вправо в се­верном полушарии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек подмывается всегда правый бе­рег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном дви­жении.

Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маятника. На рис. показана траектория груза маятника (для простоты предположено, что ма­ятник находится на полюсе). На се­верном полюсе сила Кориолиса будет все время направлена ??? по ходу маятника, на южном полюсе — ??? . В итоге траектория имеет вид розетки.

Как следует из рисунка, плоскость качаний маятника поворачивается от­носительно Земли в направлении ???, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентрической системы отсчета дело обстоит так, что плоскость кача­ний остается неизменной, а Земля поворачивается отно­сительно нее, делая за сутки один оборот.

Вес тела

Весом тела называется сила Р, рав­ная и противоположно направленная силе, с которой это тело действует на подставку, на которой оно лежит, или тянет за подвес, к которому оно подвешено.При этом предполагается, что тело, подставка и подвес покоятся в той системе отсчета, в ко­торой производится взвешивание.

Когда говорят о весе тела, обычно предполагают, что тело, подставка и подвес покоятся относительно Земли.

                  (8.17)

С учетом вращения Земли

                        (8.18)

Если тело подвешено на нити, то направление нити определяет направление силы Р, а следовательно, и ускорение свободного падения g. Оно называется направлением отвесаили отвесным направлением.

2. Вектор g_абс характеризует гравитационное поле Земли. В каждой точке пространства он определяется только размерами и формой Земли, а также распределением вещества в ней. Если бы Земля была правильным шаром, а вещество внутри нее было распределено сферически-симметрично, то вектор g_абс. был бы на­правлен точно к центру Земли. Направление отвеса определяется вектором g, т. е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах g_a6c и w²r_^ (рис. 8.8). Таким образом, если бы даже Земля была строго сферически-симметрична, то направление к ее центру не совпадало бы с направлением отвеса. Ввиду медленности вращения Земли и малости ее сплюснутости, оба направления отличаются друг от друга весьма мало. Для сферически-симметричной Земли угол a между ними определяется формулой

                           (8.19)

где  — географическая широта рас­сматриваемого места (рис. 8.8). На полюсе и на экваторе угол a обра­щается в нуль. Для реальной (несферической) Земли формула (8.19), хотя и приближенна, но достаточно точна.

рис. 8.8

Проектируя векторы g_a6cи w²r_^  на направление вектора gи полагая cos a~1:

       (8.20)

Ошибка этого расчета порядка a².

Величина g может быть найдена путем взвешивания или из опытов по свободному падению тел. Более точно ее можно найти, измеряя период колебаний оборотного маятника. Опыты показали, что g зависит от географической широты. На полюсе g = 983,2 см/с², на экваторе g = 978,0 см/с². Если бы Земля была правильным шаром со сферически-симметрич­ным распределением вещества в нем, то величина g_a6c должна была бы быть одной и той же на полюсе и на экваторе. В действительности на экваторе g_a6c меньше, чем на полюсе. Это объясняется сплюснутостью Земли, обусловленной действием центробежных сил. Точки экватора отстоят от центра Земли дальше, чем полюсы. Поэтому они притягиваются к центру Земли слабее, чем такие же точки на полюсе. Состояние «невесомости» - самостоятельно.

Тяготение

Закон всемирного тяготения. Эквивалентность инертной и гравитационной масс. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был уста­новлен Ньютоном и носит название закона всемир­ного тяготения. Согласно этому закону сила, с ко­торой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

    (9.1)

где у — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Направлена сила

рис. 9.1

вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 9.1). Формула (9.1) дает численное значе­ние равных по величине сил f₁₂ и f₂₁.

Тела, о которых идет речь в соотношении (9.1), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не мо­гут рассматриваться как материальные точки, их нуж­но разбить на элементарные массы Am, т. е. небольшие объемы, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 9.1). Согласно (9.1) i-я элементарная масса тела притягивается к k-й элемен­тарной массе тела 2 с силой

(9.2)

Просуммировав (9.2) по всем значениям k, получим результирующую всех сил, действующих со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу Dm_i:    (9.3)

Наконец, просуммировав (9.3) по всем значениям индекса i, т. е. сложив силы, приложенные ко всем эле­ментарным массам первого тела, получим силу, с кото­рой тело 2 действует на тело 1:     (9.4)

Суммирование производится по всем значениям индек­сов i и k. Следовательно, если тело 1 разбить на n₁, а тело 2 — на n₂элементарных масс, то сумма (9.4) будет содержать N_{N₂ слагаемых.

По третьему закону Ньютона тело 1 действует на тело 2 с силой f₂₁, которая равна —f₁₂.

Практически суммирование (9.4) сводится к инте­грированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары, то вычисление согласно (9.4) приводит к следующему результату:

(9.5)

Таким образом, шары взаимодействуют, как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и поме­щенные в их центрах.

Если одно-из тел представляет собой шар очень боль­шого радиуса R (например, земной шар), а второе тело, не будучи шаром, имеет размеры, гораздо меньшие К, и находится вблизи поверхности шара, то их взаимодей­ствие описывается формулой (9.5), где вместо г нужно взять радиус шара (расстоянием от второго тела до по­верхности шара, а также размерами второго тела мож­но пренебречь по сравнению с К).

Если пользоваться для измерения величин, входящих в (9.1), ранее установленными единицами, то гравитационнай постоянная g оказывается размерной величиной, числен­ное значение которой установлено опыт­ным путем. Размерность её в соответствии с (9.1) равна

Численное значение g было определено путем изме­рения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают боль­шие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения ока­зывается крайне малой. Так, например, два тела с мас­сой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка 10^-6 Н.

Первой успешной попыткой определения gбыли из­мерения, осуществленные

Кавендишем (1798 г.) кото­рый применил для измерения сил весьма чувствительный

рис. 9.2

 метод крутильных весов (рис. 9.2). Два свинцовых шара т (с массой 729 г каждый), прикрепленных к кон­цам легкого коромысла, помещались вблизи симметрич­но расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Ко­ромысло подвешивалось на упругой нити, по закручива­нию которой можно было измерять силу притяжения

шаров друг к другу. Верхний ко­нец нити был закреплен в уста­новочной головке, поворотом ко­торой можно было менять рас­стояние между шарами т и М. Наиболее точным из определенных разными способами считает­ся значение 

Если в (9.5) подставить m₁ т₂ и r, равные единице, то си­ла оказывается численно рав­ной g- Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной 6,670 • 10^-11 Н.

При изучении движения тел относительно земной поверхности нужно иметь в виду, что система отсчета, связанная с Землей, не инерциальна. Ускорение, соответ­ствующее движению по орбите, гораздо меньше, чем ус­корение, связанное с суточным вращением Земли. Поэто­му можно считать, что система отсчета, связанная с Землей, вращается относительно инерциальных систем с постоянной угловой скоростью w. Следовательно, рассматривая движение тел относитель­но Земли, нужно вводить центробежную силу инерции

где т — масса тела, r—расстояние тела от земной оси (рис. 9.3).

рис.9.3

Ограничиваясь случаями, когда высота тел над по­верхностью Земли невелика, можно положить r равным R_Зсоsj. Тогда

(9.6)

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свобод­ного падения тел g будет обусловлено действием двух сил: f_g, с которой тело притягивается Землей, и f_in. Ре­зультирующая этих двух сил есть сила тяжести. Поскольку сила Р сооб­щает телу с массой т ускорение g, справедливо сле­дующее соотношение:

Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Зем­ле f<r невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем f_g.(примерно в 300 раз).

Угол a между направлениями f_g и Р можно оценить, воспользовавшись теоремой синусов:

 

(9.7)

Синус малого угла можно приближенно заменить значе­нием самого угла

Таким образом, в зависимости от широты j угол aколеблется в пределах от нуля (на экваторе и на полюсах) до 0,0018 рад или 6' (на ши­роте 45°).

Направление Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса. Сила f_g направлена к центру Земли. Следователь-но, нить отвеса направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (9.7).

Разность f_g—Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы f_g, на экваторе. Из-за сплюснутости земного шара у полюсов сила инерции сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге уско­рение свободного падения g меняется с широтой в пре­делах от 9,780 м/сек² на экваторе до 9,832 м/сек² на по­люсах. Значение g = 9,80665 м/сек² принято в качестве нормального (стандартного) значения.

 

Масса инертная и масса гравитационная

Масса фигурирует в двух различных законах: во вто­ром законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т. е. способность тел притягивать друг друга. В связи с этим воз­никает вопрос, не следует ли различать инертную массу m_in и массу гравитационную (или тяготеющую) m_g.

Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рас­смотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле

.

 

Под действием этой силы тело приобретает ускоре­ние w(но не g):

 (9.8)

Опыт показывает, что ускорение wдля всех тел оди­наково (из одинаковости g)

Отношение m_g/m_in оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и грави­тационной массами.

Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что

12Следующая ⇒