Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе

Дан одномерныйстержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности. Поперечное сечение стержня мало, поэтому можно пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси x, направленной по длине стержня.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

· материал стержня – сталь;

· температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=100 ⁰С и α1=1000 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=20⁰С и α2=50 Вт/м^{2 0}С;

· длина стержня L = 0,09 м;

· коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 50 Вт/м ⁰С;

· площадь поперечного сечения A = 3,14∙10^{-4 м2};

· плотность стали ρ = 7800 кг/м³;

· теплоемкость с=460 Дж/кг⁰С;

· расстояние h между узлами равно 0,01 м.

Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис. 4. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.4 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).

Рисунок 7. Стержень, с теплообменом с боковой поверхности  

Составим матрицу инциденции A, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 10*11:

Матрица проводимостей G имеет размерность 11*11, является диагональной:

Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:

                                    ,                                                               

где A – площадь сечения стержня, м²;

ρ – плотность стали, кг/м³;

с – теплоемкость стали;

h – расстояние между границами объема, м.

Строим матрицу C:

Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:

Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы  имеет вид:

                                                                                        Уравнение (6) является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.

Примем начальные температуры в узлах равными 0 ⁰С, т.е.

Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения

где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна ;

с начальным условием

                                                             T(0)=T₀,                                                                 

Для решения нестационарного матричного уравнения (2.7) с начальным условием (2.8) используем явный метод Эйлера. Явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:

где m – номер итерации;

τ – шаг по времени;

E – диагональная единичная матрица;

Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна

                                              В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры T_m в следующий момент времени t_m находится пересчетом по формуле (9) на основании известного значения температуры T_m-1 в предыдущий момент времени t_m-1.

Зададим дополнительные условия для решения задачи:

1) шаг по времени τ = 2;

2) максимальное время M = 100 с.;

3) условие m…M;

Подставив все известные величины в уравнение (9), найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:

                                  .

Рисунок 8. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.