Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Подбор частного решения по виду правой части⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: где - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде: Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример 1. Решить уравнение . Решение. Решим соответствующее однородное уравнение: Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. Частное решение ищем в виде: , где Т.е. Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Итого, частное решение: Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: , где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2. Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений и . Пример 2. Решить уравнение Решение. Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: 1. Для функции f1(x) решение ищем в виде . Получаем: Т.е. Итого:
2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: . Анализируя функцию f2(x), получаем: Таким образом,
Итого: Т.е. искомое частное решение имеет вид: Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: Пример 3. Решить уравнение Решение. Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: Общее решение однородного уравнения: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде: Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставляя в исходное уравнение, получаем: Частное решение имеет вид: Общее решение линейного неоднородного уравнения: Пример 4. Решить уравнение Решение. Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: Частное решение неоднородного уравнения: . . Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 311. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |