Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Первого порядка. Метод изоклин
Приведем формулировку основной теоремы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида . (2.1) Теорема Коши (о существовании и единственности решения). Если функции , непрерывны в некоторой области переменных , то при любых начальных условиях существует единственное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условию . (2.2) Геометрически данная теорема утверждает следующее: если функции , непрерывны в области переменных , то через любую точку этой области будет проходить единственная интегральная кривая уравнения (2.1). Пусть далее для уравнения (2.1) выполняются условия теоремы Коши в некоторой области . Если рассматривать это уравнение как равенство, то в каждой фиксированной точке значение функции будет равно , то есть величине углового коэффициента касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку: = = ,
Тогда задачу нахождения решения уравнения (2.1) геометрически можно сформулировать следующим образом: найти интегральную кривую, удовлетворяющую условию, что касательные к ней имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания. Одним из методов решения такой задачи является метод изоклин. Изоклиной (линией равного наклона) называется геометрическое место точек с одинаковым направлением поля (одинаковым углом наклона ). Изоклина, очевидно, задается условием . (2.4)
Чтобы применить метод изоклин, поступают следующим образом. Находят уравнения семейства изоклин, используя равенство (2.4) (желательно это сделать в явном виде – как зависимость y от x). Придавая в равенстве (2.4) константе C различные значения ( ), строят несколько изоклин и на каждой из них наносят ряд штрихов, наклоненных к оси Ox под углом . По направлениям этих штрихов, как по касательным, проводят искомые интегральные кривые уравнения (2.1). Пример 2.1. С помощью метода изоклин построить интегральные кривые дифференциального уравнения . Сравнить с точным решением. Решение: Определяем семейство изоклин, учитывая равенство (2.4), где . Изоклинами в нашем случае будут являться вертикальные прямые . Теперь будем придавать константе C различные числовые значения и составлять уравнения изоклин. Оформим этот процесс в виде таблицы.
Изображаем на координатной плоскости семейство изоклин (множество вертикальных прямых) и на каждой из них наносим штрихи, наклоненные к оси Ox под углом (см. рис.2.3). Замечаем, что нанесенные штрихи качественно определяют (восстанавливают) расположение интегральных кривых для дифференциального уравнения. Эти интегральные кривые параболы. Рис.2.3. Сравним полученные интегральные кривые с кривыми, которые определяют точное решение исходного уравнения. Общее решение уравнения имеет вид . Замечаем, что на координатной плоскости они также представляют собой семейство парабол. Лекция 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 543. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |