Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Определение. Если ф-ция y=f(x) непрерывна в каждой точке некот. интервала (а;b), то говорят, что она непрерывна на данном интервале (а;b). Определение. Если ф-ция y=f(x) определена при х=х0 и если сущ. предел ( ), то ф-ция f(x) наз. непрерывной в точке х0 слева (справа). Определение. Ф-ция f(x) наз. непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (а;b), а также она непрерывна в точке а справа, и в точке b слева.
Некот свойсва непрерывной ф-ции Т-ма: Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдется точка х=х1 такая, что f(x)≤f(x1) и точка х=х2 такая, что f(x)≥f(x2). Для всех др. значений х, принадлежащих отрезку [a;b], значения f(x1) и f(x2) наз. соответственно наибольшим и наименьшим значениями ф-ции f(x) на отрезке [a;b]. Иначе эту теорему можно сформулировать так: Функция непрерывная на отрезке, достигает своего наиб. и наим. значений. 1. а=х2, b=x1 2. [-1,1] – не выполняется условие непрерывности.
3. y=x (0,1) – не выполняется условие непрерывности. Выполнилось бы на участке [0,1]
Т-ма: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков, тогда существует некот. точка С на этом отрезке, в кот. ф-ция обращается в 0. (f(c)=0)
Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что график такой ф-ции обязательно пересечет ось Ох хотя бы в одной точке. Производная сложной ф-ции. Пусть дана сложная ф-ция y=f(х), т.е y=y(u), где u=u(x), т.е y=y(u(x)), x-независимая переменная, u -промежуточный аргумент. Теорема. Производная сложной ф-ции y=y(u(x)) = произведению производной ф-ции y по промежуточному аргументу U на производную от промежуточного аргумента по независимой переменной x т.е yx’=yu’∙Ux’. Док-во. Пи определённом значении x u=u(x), y=y(u), при значении x=x+∆х, y+∆у=y(u+∆u), где u+ u=U(x+ x); По определению производной . Ф-ция отличается от своего предела на ∞ малое слагаемое т.е . Умножим обе части равенства на ∆U. Тогда . Разделим обе части равенства на ∆х и перейдем к пределу при ∆х→0. Т. к. ф-ция U(x) дифференцируема, то она непрерывна. Поэтому при ∆х→0 и ∆U→0. Поэтому Таким образом, получим yx’=yu’∙Ux’. ч.т.д Пусть одновременно несколько ф-ций α, β, γ… от одного аргумента х явл. ∞ малыми, т.е. →0 при х→а либо при х→∞, далее мы не будем указывать к чему →х, предполагая один из этих случаев. limα=0, limβ=0, limγ=0. Определение. Если отношение имеет конечный предел, отличный от 0, , то ∞ малые α и β наз. ∞ малыми одинакового порядка. В этом случае Определение. Если отношение 2-х ∞ малых →0 (тогда очевидно ), то ∞ малая β наз. ∞ малой высшего порядка относительно ∞ малой α. Определение. Если сущ. конечный предел (а тогда очевидно, существует и предел ), то ∞ малая β наз. ∞ малой порядка k относительно ∞ малой α. Определение. Если (а тогда очевидно, ), то α и β - эквивалентные ∞ малые. Пример: 2х и sin3х явл. ∞ малыми, при х→0. Действительно, Найдем пределы отношений Отсюда следует: эти ∞ малые одинаково порядка. Т-ма: Если α и β эквивалентные ∞ малые, то их разность явл. ∞ малой высшего порядка относительно α или β. Док-во: Т.к. α и β эквивалентны, то (по определению). Найдём предел Таким образом, α-β – ∞ малое высшего порядка относительно α. Аналогично можно доказать, что Справедлива также обратная т-ма: если разность α-β - ∞ малая высшего порядка, чем α, чем β, то α и β – эквивалентные бесконечно малые. Док-во: если , отсюда следует α~β. Замечаем: Если отношение 2-х ∞ малых не имеет предела и этот предел ≠∞, то эти ∞ малые несравнимы в смысле данных выше определений. Т-ма: Предел отношения 2-х ∞ малых не изменится, если числитель и знаменатель заменить эквивалентными ∞ малыми. Производная. Пусть некот. тело движется неравномерно. Пусть закон по кот. измен-ся пройденный путь, в зависимости от времени, опред-ся ф-цией s=s(t). Для опред-ия быстроты движения выводят понятие средней Мгновенную скорость можно определить как предел Мгновенная v есть производная от пути по времени. Пусть дана ф-ция y=f(x). Дадим переменной х приращение Δх. Тогда ф-ция у получит приращение Δу=f(x+Δx)-f(x). Если сущ. предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, когда приращение аргумента →0, то этот предел называется производной от ф-ции f(x) и обознач. f ’(x). Таким образом, по определению: или С учетом данного опред. мгновенная v есть v(t)=s’(t) Обозначения производной: f’(x); у’(x); В конкретной точке f’(x0); у’(x0). Физический смысл производной – это v изменения ф-ции в зависимости от изменения аргумента. Операция по нахождению производной - дифференцирование. Найдем производную ф-ции y=cos x по опред-ию производной: дадим ф-ции х приращениеΔх, тогда ф-ция y получит приращение: Δу=cos(x+Δx)-cos x. Разность косинусов равна (cosx)’=-sin х Аналогично можно доказать, что (sin х)’=cos x С помощью определения производной найдем производную ф-ции у=х2. Если х изменяется на Δх, у изменяется на Δу= (х+Δх)2-х2=х2+2хΔх+Δх2-х2=2хΔх+Δх2 (х2)’=2х. Эта формула является частным случаем более общей (xn)’=nxn-1
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 332. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |