Предел переменной величины.

 Постоянное число a наз. пределом переменной величины x, если для любого сколько угодно малого числа Е> 0 можно указать значение переменной величины x такое, что для всех её послед. значений будет выполняться неравенство │х-а│<E, а – такое число, что все последующие переменные будут лежать в этом интервале. limx=a. Частным случаем понятия предела переменной величины явл. понятие предела числовой последовательности. Число а наз. пределом числовой последовательности x₁,x₂,…,x_n, если для любого сколько угодно малого числа Е>0 можно указать такой номер N, что для всех n>N, справедливо неравенство: |Хn-a|<E.

Постоянное число а есть предел переменной х, если для любой сколько угодно малой E окрестности числа а можно указать значение переменной х такое, что все последующие ее значения будут лежать внутри этой окрестности.
40. Ф-ция и её предел.

Если каждому значению одной переменной величины х ставят в соответствие единственное значение другой переменной величины у, то переменную у наз-ют зависимой переменной или функцией от х, а переменную х при этом наз-ют независимой переменной, или аргументом. y=f(x), y=φ(x), y=y(x). Функция y=f(x) наз-ся монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если большему значению её аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Постоянное число b наз-ся пределом функции y=f(x) при x стремящемся к а, если для любого сколько угодно малого числа ε>0 можно указать число δ>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству ׀x-a׀<δ(∆) будет выполняться условие ׀f(x)-b׀<ε.

 Lim_х→аf(x)=b

y

b+ε

b

b-ε

        a- δ a a+ δ

Геометрически это означает следующее: число b наз-ся пределом функции y=f(x) x→a, если для любой сколько угодно малой Е окрестности числа b можно указать ∆ окрестность числа а такую, что если значение аргумента х € этой δ-окрестности, то значение функции y=f(x) будет принадлежать заданной E окрестности. Заметим, что переменная величина х не может иметь двух пределов.