Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.

Положение плоскости в пространстве полностью определяется расстоянием от пл-ти (р) до начала координат и единичным вектором ^ плоскости.

Возьмем произвольную точку М(x,y,z), принадлежащую плоскости. Вектор М₀М=r-r₀ лежит в этой плоскости и => ^ вектору => проекция вектора  на вектор .

Т. к. вектор , то можем записать .

 (3) – это норм уравнение плоскости в векторной форме.

Учитывая, что , а , где - углы, кот. он образует с коорд. осями Ох, Oy, Oz. Получаем: 

                                                            (4). - норм ур-е пл-ти в коорд. форме.

Аналогично можно вывести норм. ур-е прямой на пл-ти:

Норм ур-е прямой в векторной форме будет иметь вид, в точности совпадающий с уравнением (3). Отличия только в том, что входящие в него векторы будут иметь по 2 координаты. Поэтому, расписывая скалярное произведение, имеем норм ур-е прямой в коорд пл-ти:

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.

Положение прямой в пространстве полностью опр-ся некоторой точкой M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащей прямой и вектором , параллельным прямой.

Пусть M(x,y,z) произвольная точка прямой. Проведём . Тогда вектор , лежащий на прямой, параллельной направляющему вектору  

(5) - параметрическое ур-е прямой в пространстве. Число t - параметр. При изменении параметра t от -∞ до +∞ переменная точка, определяемая концом радиус-вектора , пробегает положение всех точек прямой.

Предположим, что направляющий вектор имеет координаты , тогда учитывая, что ,  из уравнения (5) получаем три уравнения, связывающих соответствующие координаты этих векторов. Параметрическое уравнение прямой в пр-ве в коорд форме: (6)

Аналогично можно получить векторную форму параметрического уравнения прямой на плоскости, которая будет совпадать с уравнением (5):

(7).

Входящие сюда векторы имеют по 2 координаты r={x,y}, r₀={x₀,y₀}, S={m,n}. Поэтому в координатной форме получаем 2 параметрических уравнения прямой на плоскости (8):

Канонические уравнения прямой.

Исключим параметр t из параметрических уравнений (6)

Выражая t из каждого ур-я, мы имеем

Приравнивая правые части этих равенств получим каноническое уравнение прямой в пространстве  (9).

Аналогично, исключая параметр t из системы (8) , получим каноническое уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.

Положение прямой в пространстве полностью определяется 2 точками М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂), принадлежащими прямой.

Выбираем в канонич. ур-ях (9) за направляющий вектор  и за фиксированную точку прямой – точку М₁(x₁,y₁,z₁).

 (11)

Аналогично из канонического уравнения прямой на пл-ти получаем ур-е прямой на пл-ти, проходящей через 2 заданные точки с координатами (x₁,y₁) и (x₂,y₂). Оно будет иметь вид (12):

Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

 Каноническое уравнение прямой на плоскости можно переписать в виде или или y=kx+b (13), где

Выясним геометр. смысл параметров k и b, входящих в ур-ние y=kx+b

m и n = проекциям на координатные оси

Отсюда вывод, что коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой положительного направления к оси Ох. Он называется угловым коэффициентом прямой. Чтобы выяснить геометр. смысл параметра b найдём ординату точки пересечения прямой с осью Оу. Для этого предположим в ур-ние y=kx+b, что х=0. Тогда получим у=b. Параметр b - ордината точки пересечения прямой с Оу.