Понятие устойчивости и критической силы

В определенных случаях элементы конструкций помимо расчета на прочность и жесткость рассчитывают на устойчивость. Из теоретической механики известно, что равновесие твердых тел может быть: устойчивое, неустойчивое, безразличное.

Устойчивое                Неустойчивое        Безразличное

Аналогичные случае равновесия наблюдаются и в статике упругих тел. Рассмотрим длинный продольно сжатый стержень. При действии небольшой сжимающей силы меньше некоторого критического значения стержень находится в состоянии устойчивого равновесия.

Если незначительно изогнуть его поперечной силой, а затем эту силу убрать, то он вновь распрямится. Если сила станет больше критической, то стержень теряет прямолинейную форму равновесия и искривляется.

В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости. Стержень потерявший устойчивость кроме напряжений от сжатия испытывает напряжение и от изгиба, что может привести не только к искривлению, но и часто к разрушению. Расчет на устойчивость является расчетом на недопущение потери устойчивости. Потеря устойчивости может происходить в тонких длинных стержнях, балках, трубопроводах. Критическую силу следует рассматривать как разрушающую. Допускаемая сила в целях безопасности меньше критической:

      Ку – коэффициент запаса устойчивости

Формула Эйлера для определения критической силы

Рассмотрим сжатый стержень или стойку в критическом состоянии, то есть когда он прогнулся. При этом сила соответствует критическому значению.

Критическая сила была впервые получена Эйлером для шарнирно- защемленного стержня и работающего в упругой стадии.

   Выберем систему координат. На расстоянииZпрогиб будетY, а изгибающий момент от критической силы будет равен:

Mu= -Fкр*y.

Наименшая критическая сила будет при n=1

Fкр= EImin

При сжатии вдоль оси стержня, он всегда изгибается относительно оси с меншим моментом инерции. В этом можно убедиться сжимая линейку.

Ix=

Iy=

Ix>Iy

Iy=Imin

Выражение Эйлера при различных закреплениях концов стержня.

Уравнение изогнутой оси стержня имеет вид:

y=b*

Из этого выражения следует, что стержень при потере устойчивости изгибается по синусойде.

При n=1 k=

y=b*

Где n- количество полуволн по длине стержня.

Чтобы исключить многообразие формул было предложено Ясинским в формулу Эйлера ввести приведенную длину.

Lпр= L*

- коэффициент приведения действительной длины стержня, связанной с числом полуволн n>E; =

Значение коэффициента  для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня.

n=1 = =1       n=1,5 = =0.7     n=0,5 = =2        n=2 = =0.5

Для общего случая формула Эйлера имеет вид

Fкр=

Из этой формулы видно, что наименьшая критическая сила будет при жестком закреплении концов стержня