ПП в случае произвольной коммутации

ПП В ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ

Основные теоретические положения

Трёхфазные цепи можно рассматривать как случай сложных цепей переменного тока. Соответственно, и переходные процессы можно исследовать изученными методами. Однако трёхфазные цепи обладают некоторыми особенностями, знание которых позволит упростить расчёт переходного процесса.

1. Схема «звезда» с нулевым проводом, сопротивление которого бесконечно мало, является совокупностью трёх независимых однофазных цепей. Поэтому здесь при любых коммутациях переходный процесс рассматривается отдельно в каждой фазе.

2. При трёхфазной коммутации в симметричной цепи, собранной по схеме «звезда» без нулевого провода, напряжение смещения нейтрали в любой момент времени всё равно остаётся равным нулю. Поэтому и здесь переходный процесс может рассматриваться отдельно в каждой фазе.

3. Если в симметричной цепи имеются потребители, соединенные по схеме «треугольник», их можно заменить эквивалентными «звёздами» и рассматривать переходный процесс для одной фазы по однолинейной схеме.

4. Если коммутация происходит не во всех трёх фазах, целесообразным является сведение расчёта к нулевым начальным условиям.

ПП в случае трёхфазной коммутации

Решение

Выполним некоторые предварительные вычисления, результаты которых понадобятся в дальнейшем.

Взаимная индуктивность       M = k = 0,9 = 0,127 Гн.

Реактивные сопротивления: x₁ = wL₁ = 314·0,2 = 62,8 Ом,

x₂ = wL₂ = 314·0,1 = 31,4 Ом,

x_M = wM = 314·0,127 = 40,0 Ом.

Комплексные сопротивления обмоток без учёта взаимной индуктивности

Z₁ = r₁ + jx₁ = 10 + j62,8 = 63,6·е ^j81,0° Ом,

Z₂ = r₂ + jx₂ = 2 + j31,4 = 31,5·е ^j86,4° Ом.

В режиме холостого хода вторичная обмотка не оказывает влияния на первичную. Поскольку трёхфазная коммутация происходит в симметричной трёхфазной цепи, то переходный процесс можно рассчитать в каждой фазе отдельно по однолинейной схеме замещения рис. 7.120.

Рассчитаем ПП в фазе А классическим методом. Вычислим принуждённую составляющую тока:

E_A = 380 B,  I_A1np = E_A/Z₁ = 380/(63,6·е ^j81,0°) = 5,98·е ^-j81,0° A,

i_A1np(t) = ·5,98·sin(314t – 81,0°) = 8,45·sin(314t – 81,0°) A,

i_A1np(0) = 8,45·sin(-81,0°) = -8,35 A.

Характеристическое уравнение и его корень:

pL₁ + r₁ = 0,    p = -r₁/L₁ = -10/0,2 = -50 с ^-1.

Свободная составляющая тока: i_A1св = A·е ^pt.

Постоянную интегрирования А найдём с учётом нулевого начального условия i_A1(0) = 0:  A = i_A1св(0) = i_A1(0) – i_A1np(0) = 8,35.

Окончательно для фазы А получаем:

i_A1(t) = 8,45·sin(314t – 81,0°) + 8,35·е ^-50t A.

Аналогично рассчитываем ПП в фазах В и С:

E_B = 380·е ^-j120° B,  I_B1np = 5,98·е ^–j201,0° A,  i_B1np(t) = 8,45·sin(314t – 201,0°) A,

i_B1св = B·е ^pt, B = i_B1св(0) = i_B1(0) – i_B1np(0) = -3,02,

i_B1(t) = 8,45·sin(314t – 201,0°) – 3,02·е ^-50t A;

E_C = 380·е ^j120° B,  I_C1np = 5,98·е ^j39,0° A,  i_C1np(t) = 8,45·sin(314t +39,0°) A,

i_C1св = C·е ^pt, C = i_C1св(0) = i_C1(0) – i_C1np(0) = -5,32,

i_C1(t) = 8,45·sin(314t + 39,0°) – 5,32·е ^-50t A.

Графики переходных токов во всех трёх фазах представлены на рис. 7.121.

Задача 7.85. В схеме рис. 7.119 (числовые данные взять из задачи 7.84) рассчитать переходный процесс в трёхфазном трансформаторе при его подключении к источнику с включенной нагрузкой (рубильник S₁ замыкает-ся, S₂ – замкнут).

Решение

Символическим методом рассчитаем принуждённые составляющие токов:

Z = r₁ + j(x₁ – x_M) + = 18,0·е ^j42,5° Ом,

E_A = 380 B,  I_A1np = E_A/Z = 380/(18·е ^j42,5°) = 21,2·е ^–j42,5° A,

I_A2np = I_A1np· = 26,9·е ^–j38,9° A,

i_A1np(t) = ·21,2·sin(314t – 42,5°) = 29,9·sin(314t – 42,5°) A,

i_A2np(t) = ·26,9·sin(314t – 38,9°) = 38,0·sin(314t – 38,9°) A,

Начальные значения принуждённых токов и их производных:

i_A1np(0) = -20,2 A, i_A2np(0) = -23,9 A,

i_A1np¢(0) = 29,9·314·соs(-42,5°) = 6926 A/c, i_A2np¢(0) = 9293 A/c.

Характеристическое уравнение и его корни:

pM + = 0

или (L₁L₂– M²)·p² + (r₁L₂ + L₁r₂)·p + r₁r₂ = 0; p₁ = -14,89 с ^-1, p₂ = -353,5 с ^-1.

Свободные составляющие токов:

i_A1св = A₁₁·е ^p1t + A₁₂·е ^p2t,   i_A2св = A₂₁·е ^p1t + A₂₂·е ^p2t.

Получим зависимые начальные условия, записав уравнения по второму закону Кирхгофа для нулевого момента времени с учётом нулевых независимых начальных условий i_A1(0) = 0, i_A2(0) = 0:

(L₁– M)·i_A1¢(0) + M·(i_A1¢(0) – i_A2¢(0)) = e_A(0),

-M·(i_A1¢(0) – i_A2¢(0)) + (L₂– M)·i_A2¢(0) = 0,

или  L₁·i_A1¢(0) – M·i_A2¢(0) = 0,

-M·i_A1¢(0) + L₂·i_A2¢(0) = 0.

Решение системы уравнений:  i_A1¢(0) = 0 A/c, i_A2¢(0) = 0 A/c.

Зависимые начальные условия:

i_A1св(0) = i_A1(0) – i_A1np(0) = 20,2 A, i_A1св¢(0) = i_A1¢(0) – i_A1np¢(0) = -6926 A/c,

i_A2св(0) = i_A2(0) – i_A2np(0) = 23,9 A, i_A2св¢(0) = i_A2¢(0) – i_A2np¢(0) = -9293 A/c.

С другой стороны, i_A1св(0) = A₁₁ + A₁₂,  i_A1св¢(0) = A₁₁p₁ + A₁₂p₂,

i_A2св(0) = A₂₁ + A₂₂,  i_A2св¢(0) = A₂₁p₁ + A₂₂p₂.

Системы уравнений для постоянных интегрирования и результаты решения:

A₁₁ + A₁₂ = 20,2,             A₂₁ + A₂₂ = 23,9,         A₁₁ = 0,68, A₂₁ = -2,52;

A₁₁p₁ + A₁₂p₂ = -6926,    A₂₁p₁ + A₂₂p₂ = -9293,  A₁₂ = 19,6,      A₂₂ = 26,4.

Записываем окончательные выражения для токов фазы А:

i_A1(t) = 29,9·sin(314t – 42,5°) + 0,68·е ^-14,89t + 19,6·е ^-353,5t A,

i_A2(t) = 38,0·sin(314t – 38,9°) – 2,52·е ^-14,89t + 26,4·е ^-353,5t A.

Аналогично рассчитываем ПП в фазах В и С. Результаты вычислений:

i_В1(t) = 29,9·sin(314t – 162,5°) – 0,31·е ^-14,89t + 9,29·е ^-353,5t A,

i_В2(t) = 38,0·sin(314t – 158,9°) + 1,15·е ^-14,89t + 12,54·е ^-353,5t A,

i_С1(t) = 29,9·sin(314t + 77,5°) – 0,36·е ^-14,89t – 28,9·е ^-353,5t A,

i_С2(t) = 38,0·sin(314t + 81,1°) + 1,36·е ^-14,89t – 38,9·е ^-353,5t A.

Графики переходных токов во всех трёх фазах представлены на рис. 7.123.

Задача7.86. В схеме рис. 7.119 (числовые данные взять из задачи 7.84) рассчитать переходный процесс в трёхфазном трансформаторе при подключении нагрузки (рубильник S₁ замкнут, S₂ – замыкается).

Решение

ПП в каждой фазе трансформатора рассчитаем по однолинейной схеме рис. 7.124,а, которая после «развязки» индуктивной связи принимает вид рис. 7.124,б.

Независимые начальные условия можем взять из результатов решения задачи 7.84, поскольку принуждённый режим задачи 7.84 является докоммутационным режимом для задачи 7.86:

i_A1(0₊) = i_A1(0_-) = 8,45·sin(-81,0°) = -8,35 A, i_A2(0) = 0.

Значения принуждённых токов, корни характеристического уравнения возьмём из задачи 7.85:

i_A1np(t) = 29,9·sin(314t – 42,5°) A, i_A2np(t) = 38,0·sin(314t – 38,9°) A,

i_A1np(0) = -20,2 A, i_A2np(0) = -23,9 A,

i_A1np¢(0) = 29,9·314·соs(-42,5°) = 6926 A/c,  i_A2np¢(0) = 38·314·соs(-38,9°) = 9293 A/c,

p₁ = -14,89 с ^-1,    p₂ = -353,5 с ^-1.

Свободные составляющие токов:

Получим зависимые начальные условия, записав уравнения по второму закону Кирхгофа для нулевого момента времени с учётом независимых начальных условий:

r₁·i_A1(0) + (L₁– M)·i_A1¢(0) + M·(i_A1¢(0) – i_A2¢(0)) = e_A(0),

-M·(i_A1¢(0) – i_A2¢(0)) + r₂·i_A2(0) + (L₂– M)·i_A2¢(0) = 0,

или      L₁·i_A1¢(0) – M·i_A2¢(0) = 0 – r₁·i_A1(0) = 83,5,

-M·i_A1¢(0) + L₂·i_A2¢(0) = 0.

Решение системы уравнений: i_A1¢(0) = 2196 A/c, i_A2¢(0) = 2795 A/c.

Зависимые начальные условия:

i_A1св(0) = i_A1(0) – i_A1np(0) = 11,9 A,    i_A1св¢(0) = i_A1¢(0) – i_A1np¢(0) = -4729 A/c,

i_A2св(0) = i_A2(0) – i_A2np(0) = 23,9 A,    i_A2св¢(0) = i_A2¢(0) – i_A2np¢(0) = -6497 A/c.

С другой стороны,  i_A1св(0) = A₁₁ + A₁₂,  i_A1св¢(0) = A₁₁p₁ + A₁₂p₂,

i_A2св(0) = A₂₁ + A₂₂,  i_A2св¢(0) = A₂₁p₁ + A₂₂p₂.

Системы уравнений для постоянных интегрирования и результаты решения:

A₁₁ + A₁₂ = 11,9,             A₂₁ + A₂₂ = 23,9,         A₁₁ = 7,16,       A₂₁ = 5,74;

A₁₁p₁ + A₁₂p₂ = -4792,         A₂₁p₁ + A₂₂p₂ = -6497,  A₁₂ = 4,73,       A₂₂ = 18,14.

Записываем окончательные выражения для токов фазы А:

i_A1(t) = 29,9·sin(314t – 42,5°) + 7,16·е ^-14,89t + 4,73·е ^-353,5t A,

i_A2(t) = 38,0·sin(314t – 38,9°) + 5,74·е ^-14,89t + 18,14·е ^-353,5t A.

Аналогично рассчитываем ПП в фазах В и С. Результаты вычислений:

i_В1(t) = 29,9·sin(314t – 162,5°) – 2,7·е ^-14,89t + 14,7·е ^-353,5t A,

i_В2(t) = 38,0·sin(314t – 158,9°) – 1,84·е ^-14,89t + 15,5·е ^-353,5t A,

i_С1(t) = 29,9·sin(314t + 77,5°) – 4,5·е ^-14,89t – 19,4·е ^-353,5t A,

i_С2(t) = 38,0·sin(314t + 81,1°) – 3,9·е ^-14,89t – 33,7·е ^-353,5t A.

Графики переходных токов во всех трёх фазах представлены на рис. 7.125.

ЗАДАЧА 7.87. В схеме рис. 7.119 (числовые данные взять из задачи 7.84) рассчитать переходный процесс в трёхфазном трансформаторе при отключении нагрузки (рубильник S₁ замкнут, S₂ – размыкается).

Решение

Значения токов до коммутации возьмём из результатов решения задачи 7.85, поскольку принуждённый режим задачи 7.85 является докоммутацион-ным режимом для задачи 7.87:

i_A1(t_-) = 29,9·sin(314t – 42,5°) A, i_A2(t_-) =38,0·sin(314t – 38,9°) A,

i_A1(0_-) = -20,2 A,                               i_A2(0_-) = -23,9 A,

Потокосцепление цепи до коммутации:

Y_A(0_-) = (L₁ – M)·i_A1(0_-) + (L₂ – M)·i_A2(0_-) =

= 0,073·(-20,2) – 0,027·(-23,9) = -0,821 Вб.

Потокосцепление цепи после коммутации: Y_A(0₊) = L₁·i_A1(0₊)

В соответствии с обобщённым первым законом коммутации  Y_A(0₊) = =Y_A(0_-), откуда начальное значение первичного тока в фазе А

i_A1(0₊) =Y_A(0_-)/L₁ = -0,821/0,2 = -4,103 A.

Значения принуждённых токов, корень характеристического уравнения возьмём из задачи 7.84:

i_A1np(t) = 8,45·sin(314t – 81,0°) A, i_A1np(0) = -8,35 A, p = -50 с ^-1.

Свободная составляющая тока: i_A1св = A·е ^pt.

Постоянная интегрирования A = i_A1св(0) = i_A1(0₊) – i_A1np(0) = 4,24.

Записываем окончательное выражение для тока фазы А:

Аналогично рассчитываем ПП в фазах В и С. Результаты вычислений:

i_В1(t) = 8,45·sin(314t – 201,0°) – 4,42·е ^-50t A,

i_A1(t) = 8,45·sin(314t + 39,0°) + 0,18·е ^-50t A.

Графики переходных токов во всех трёх фазах представлены на рис. 7.127.

Решение

Переходный процесс в симметричной трёхфазной цепи рассчитаем для каждой фазы отдельно по однолинейной схеме замещения (рис. 7.129) после замены треугольника ёмкостей С эквивалентной звездой, состоящей из конденсаторов ёмкостью 3С.

Расчётом цепи до коммутации определим независимые начальные условия: E_A = 380 B,

I_A1 = = = 10,1·е ^–j74,6° A,

U_CA = -j ·I_A1 = -j26,5·10,1·е ^–j74,6° = 268·е ^–j164,6° B,

i_1A(t_-)= ·10,1·sin(wt –74,6°) A, i_1A(0₊) = i_1A(0_-) = ·10,1·sin(-74,6°) = -13,77 A,

u_CA(t_-) = ·268·sin(wt – 164,6°) B,   u_CA(0₊) = u_CA(0_-) = -101 B.

Выполним расчёт принуждённых составляющих:

I_1Anp = = = 8,08·е ^–j63,5° A,

I_3Anp = I_1Anp· = 8,08·е ^–j63,5°· = 7,14·е ^–j35,5° A,

i_3Anp(t) = ·7,14·sin(wt – 35,5°) = 10,09·sin(wt – 35,5°) A,

i_3Anp(0) = 10,09·sin(-35,5°) = -5,87 A,

i_3Anp¢(0) = 10,09·314·соs(-35,5°) = -978 A/c.

Характеристическое уравнение и его корни:

+ = 0; 3LCr₂·p² + (L + 3Cr₁r₂)·p + r₁ + r₂ = 0;

0,0012·p² + 0,26·p + 60 = 0; p_1,2 = -108,3 ± j195,6 c ^-1.

Свободная составляющая имеет вид: i_A3св(t) = A·е ^-108,3t·sin(195,6t +y) A.

Для нахождения зависимых начальных условий составим систему уравнений для нулевого момента времени:

i_1A(0) –  – i_3A(0) = 0,

Li_1A¢(0) + u_CA(0) = e_A(0),

i_3A(0) = 3C·u_CA¢(0).

Таким образом, необходимые начальные условия:

i_3A(0) = i_1A(0) – = -13,77 – = -11,76 A,

i_1A¢(0) = = = 504 A/c,

u_CA¢(0) = i_3A(0)/(3C) = = -97970 B/c,

i_3A¢(0) = i_1A¢(0) – = 504 – = 2464 A/c,

i_3Aсв(0) = i_3A(0) – i_3Anp(0) = -11,76 – (-5,87) = -5,89 A,

i_3Aсв¢(0) = i_3A¢(0) – i_3Anp¢(0) = 2464 – (-978) = 3442 A/c.

С другой стороны,

i_3Aсв(0) = A·sin(y),      i_3Aсв¢(0) = -108,3·A·sin(y) + 195,6·A·соs(y).

Получаем и решаем систему уравнений:

A·sin(y) = -5,89,                                             A = 15,5,

-108,3·A·sin(y) + 195,6·A·соs(y) = 3442;     y = -22,3°.

Окончательно записываем линейный ток А батареи конденсаторов:

i_3A(t) = i_3Anp(t) + i_3Aсв(t) = 10,09·sin(wt – 35,5°) + 15,5·е ^-108,3t·sin(195,6t – 22,3°) A.

Аналогично рассчитываем токи i_3B и i_3С:

i_3В(t) = 10,09·sin(wt – 155,5°) + 14,29·е ^-108,3t·sin(195,6t + 178,2°) A,

i_3С(t) = 10,09·sin(wt + 84,5°) + 5,46·е ^-108,3t·sin(195,6t + 90,5°) A.

Фазные токи батареи конденсаторов:

i_ab(t) = (i_3A(t) – i_3В(t)) = 5,83·sin(wt – 5,5°) + 9,77·е ^-108,3t·sin(195,6t – 12,5°) A,

i_bc(t) = (i_3B(t) – i_3C(t)) = 5,83·sin(wt – 125,5°) + 5,03·е ^-108,3t·sin(195,6t – 160,6°) A,

i_ca(t) = (i_3C(t) – i_3A(t)) = 5,83·sin(wt + 114,5°) + 6,11·е ^-108,3t·sin(195,6t + 141,8°) A.

Графики искомых токов представле-ны на рис. 7.130.

Задача7.89. Рассчитать токи переходного процесса в схеме рис. 7.131. Числовые данные: е_А(t) = 200sin(314t) B,

r = 20 Ом, С = 50 мкФ.

Ответы.

i_A(t) = 3,0·sin(314t + 72,6°) – 2,86·е ^-1000t A,

i_B(t) = 3,0·sin(314t – 47,4°) – 6,46·е ^-1000t A;

i_C(t) = 3,0·sin(314t + 192,6°) + 9,31·е ^-1000t A.

Графики на рис. 7.132.

ЗАДАЧА 7.90. Рассчитать токи переходного процесса в схеме рис. 7.133 при отключении источника питания. Числовые данные:

е_А(t) = 200sin(314t) B,  r₁ = 10 Ом,  r₂ = 20 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10 мкФ.

Ответы: i_A(t) = 2,752·е ^-50t·sin(405,2t + 99,4°) A,

i_B(t) = 2,208·е ^-50t·sin(405,2t – 12,6°) A,  i_C(t) = 2,811·е ^-50t·sin(405,2t – 127,4°) A,

i_ab(t) = 1,374·е ^-50t·sin(405,2t + 129,1°) A,

i_bc(t) = 1,413·е ^-50t·sin(405,2t + 24,4°) A,  i_ca(t) = 1,702·е ^-50t·sin(405,2t – 104,3°) A.

Графики линейных токов приведены на рис. 7.134.

ПП в случае произвольной коммутации

ЗАДАЧА 7.91. В схеме рис. 7.135 батарея конденсаторов используется для повышения коэффициента мощности нагрузки r₂-L. При отключении батареи конденсаторов автоматический выключатель смог отключить только одну фазу (на схеме – коммутация ключом S). Рассчитать токи нагрузки в пе-реходном процессе. Числовые данные:  е_А(t) = 380 sin(314t) B,   r₁ = 10 Ом, r₂ = 50 Ом,   L = 0,4 Гн, С = 200 мкФ.

Решение

1. Рассчитаем докоммутационный режим симметричной трёхфазной цепи. Заменим треугольник конденсаторов эквивалентной звездой, емкости ветвей которой будут 3С. Сопротивление одной фазы, таким образом, равно

Z = r₁ + = 10 + =

= 11,49·е ^–j28,6° Ом,

Комплексы действующих значений:

E_A = 380 B,     I_A1 = = = 33,08·е ^j28,6° A,

I_A2 = I_A1· = 33,1·е ^j28,6°· = 1,35·е ^–j128,8° A,

I_A3 = I_A1· = 33,1·е ^j28,6°· = 34,32·е ^j29,5° A,

I_B2 = I_A2·е ^–j120° = 1,35·е ^–j248,8° A, I_C2 = I_A2·е ^j120° = 1,35·е ^–j8,8° A.

Мгновенные значения токов:

i_A1(t_-) = ·33,08sin(wt +28,6°) = 46,77sin(wt +28,6°) A,

i_A2(t_-) = 1,91sin(wt – 128,8°) A,  i_B2(t_-) = 1,91sin(wt – 248,8°) A,

i_C2(t_-) = 1,91sin(wt – 8,8°) A,  i_A3(t_-) = 48,54sin(wt + 29,5°) A,

Ток i_A3(t_-) является током рубильника S.

2. При расчёте переходного процесса применим приём сведения расчётов к нулевым начальным условиям. На рассчитанный докоммутационный режим наложим переходный процесс, который получается от включения источника тока i_A3(t_-) в схеме рис. 7.136 при нулевых независимых начальных условиях.

Как видно из рис. 7.136, фазы B и С схемы вместе с конденсаторами ветвей ab и cа образуют уравновешенный мост, в диагоналях которого находятся источник тока и конденсаторная ветвь bc. В связи с этим источник тока никакого влияния на ток i_bс не оказывает, то есть этот ток останется тем же самым, что был и до коммутации.

Теперь, если ветвь bс, не участвующую в переходном процессе, изъять, то окажется, что две абсолютно одинако-вые ветви схемы b и с включены параллель-но, и, следовательно, общий для них ток -i_A3 делится между ними пополам. Поскольку ток через конденсато-ры ветвей ab и cа строго фиксирован-ный (половина тока источника тока i_A3(t_-)), то в этих конденсато-рах сразу наступает установившийся режим. Таким образом, переходный процесс имеет место только в контурах r₁-r₂-L. Рассчитаем этот переходный процесс классическим методом.

3. Принуждённые составляющие токов:

i_A3пр= -i_A3(t_-) = 48,54sin(wt – 150,5°) A,

I_A3пр = 34,32·е ^–j150,5° A,

I_A1пр= I_A3пр· = 34,32·е ^–j150,5°· = 33,33·е ^–j146,7° A,

I_A2пр= I_A1пр – I_A3пр = 33,33·е ^–j146,7° – 34,32·е ^–j150,5° = 2,47·е ^–j35,0° A,

i_A2пр= 3,49sin(wt – 35,0°) A, i_B2пр= i_C2пр= -i_A2пр/2 = 1,74sin(wt + 145,0°) A.

4. Корень характеристического уравнения

р = - = - = -150 с ^-1.

5. Свободные составляющие искомых токов

i_A2св = А·e ^рt, i_В2св = i_С2св = В·e ^рt.

6. Начальные условия и постоянные интегрирования:

i_A2(0) = i_В2(0) = i_С2(0) = 0,

А = i_A2(0) – i_A2пр(0)  = -i_A2пр(0) = 3,49sin(-35,0°) = 2,0,

В = -А/2 = -1,0.

7. Окончательно получаем для токов нагрузки:

i_A2(t) = i_A2(t_-) + i_A2пр + i_A2св = 1,91sin(wt – 128,8°) + 3,49sin(wt – 35,0°) + 2e ^-150t =

= 3,86sin(wt – 64,5°) + 2e ^-150t A,

i_B2(t) = i_В2(t_-) + i_В2пр+ i_В2св = 1,91sin(wt – 248,8°) + 1,74sin(wt + 145,0°) – 1e ^-150t =

= 3,49sin(wt + 127,4°) – 1e ^-150t A,

i_С2(t) = i_С2(t_-) + i_С2пр+ i_С2св = 1,91sin(wt – 8,8°) + 1,74sin(wt + 145,0°) – 1e ^-150t =

= 0,84sin(wt + 57,3°) – 1e ^-150t A.

Ток нейтрали нагрузки равен

i_N(t) = i_A2(t) + i_B2(t) + i_С2(t) = 0.

Это означает, что нейтраль в данной схеме не оказала никакого влияния на переходный процесс, в связи с чем она могла бы и отсутствовать с теми же самыми последствиями.

8. Графики токов приведены на рис. 7.137.

Задача7.92. В схеме рис. 7.138 при подключении батареи конденсаторов параллельно с нагрузкой r₂-L автоматический выключатель не замкнул фазу А (на схеме коммутация осуществлена двухполюсным ключом S). Рассчитать токи нагрузки в переходном процессе. Числовые данные:  е_А(t) = 380 sin(314t) B,   r₁ = 10 Ом,   r₂ = 50 Ом,   L = 0,4 Гн, С = 200 мкФ.

Ответы.

Докоммутационный режим:

i_A2(t_-) = 3,86sin(wt – 64,5°) A,  i_B2(t_-) = 3,86sin(wt – 184,5°) A,

i_C2(t_-) = 3,86sin(wt + 55,5°) A,  u_РУБ(t_-) = 904sin(wt – 86,2°) B;

при применении приёма сведения расчёта к нулевым начальным условиям на докоммутационный режим накладывается переходный процесс, рассчитанный по схеме рис. 7.139;

I_С3пр = -I_В3пр = 21,48·е ^j143,2° А, I_В2пр = -I_С2пр = 1,54·е ^j78,7° А,

i_B2пр= -i_C2пр= 2,18sin(wt + 78,7°) A,

Z(p) = 3r₁LCp² + p(L +3Cr₁r₂) + r₁ + r₂ = 2,4·10 ^-3p² + 0,7p + 60 = 0,

p_1,2= -145,8 ± j61,10 c ^-1,

i_B2пр¢(0)= 133,9 А/c, i_B2¢(0)= = 1127 А/c, i_B2св¢(0)= 993,6 А/c,

i_B2св(0)= i_B2(0)– i_B2пр(0)= 0 – 2,14 = -2,14 А,

i_B2св= -i_C2св= 11,36e ^-145,8tsin(61,1t – 10,9°) A,

i_B2(t) = i_В2(t_-) + i_В2пр+ i_В2св =

= 4,20sin(314t + 144,5°) + 11,36e ^-145,8tsin(61,1t – 10,9°) A,

i_С2(t) = i_С2(t_-) + i_С2пр+ i_С2св =

= 2,05sin(314t + 30,7°) + 11,36e ^-145,8tsin(61,1t + 169,1°) A.

Комментарии и ответы.Состояние цепи до коммутации:

i_A(t_-) = i_a(t_-) = 10,81sin(wt – 64,4°) A,  i_B(t_-) = i_b(t_-) = 10,81sin(wt – 184,4°) A,

Задача решается путём сведения расчёта к нулевым начальным усло-виям. Схема с нулевыми начальными условиями приведена на рис. 7.142,а. Соответствующая операторная схема приведена на рис. 7.142,б, в которой  Z₁(p) = r₁ + pL, Z₂(p) = r₂ + , Z₃(p) = r₁ + pL + r₂ + . Схема рис. 7.142,б представляет собой уравновешенный мост, для которого напряжение U_N(p) диагонали с нагрузкой Z₃(p) равно нулю: U_N(p) = 0. Следовательно, в схеме рис. 7.142,а  u_N¢ = 0, i_C¢ = i_с¢ = 0,  и расчёт переходного процесса сводится к схеме рис. 7.143:

i_A¢ = -i_В¢ = 3,53sin(wt – 153,3°) + 1,59e ^-20t А,

i_а¢ = -i_b¢ = -9,36sin(wt – 34,4°) + 4,92e ^-200t А.

В результате наложения получаем:

i_A(t) = i_A(t_-) + i_A¢ = 11,44sin(314t – 82,4°) + 1,59e ^-20t А,

i_В(t) = i_В(t_-) + i_В¢ = 8sin(314t + 162,4°) – 1,59e ^-20t А,

i_С(t) = i_С(t_-) = 10,81sin(314t + 55,6°) А,

i_а(t) = i_а(t_-) + i_а¢ = 5,4sin(314t – 124,4°) + 4,92e ^-200t А,

i_b(t) = i_b(t_-) + i_b¢ = 5,4sin(314t – 124,4°) – 4,92e ^-200t А,

i_КЗ(t) = i_А(t) – i_а(t) = 8,23sin(314t – 56,7°) + 1,59e ^-20t – 4,92e ^-200t А.