Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ПП в цепях с одним накопителем

Стр 1 из 3Следующая ⇒

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ (ПП) В ЛИНЕЙНЫХ

ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПП

Общие положения

Если электрическая цепь достаточно долго сохраняла неизменный вид, то в ней создаётся так называемый установившийся (принуждённый) режим. Последнему соответствуют определённые законы изменения энергии элект-рических полей конденсаторов и магнитных полей индуктивностей цепи. В случае изменения схемы при переключениях, которые будем называть коммутациями, энергия полей должна измениться, а для этого требуется некоторое время. Процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называется переходным.

На протяжении ПП электрическая цепь может быть описана системой динамических уравнений, которая может быть сведена относительно одной электрической величины (тока или напряжения) к дифференциальному уравнению n-го порядка, причём его порядок определяется количеством накопителей энергии (к ним относятся индуктивности и ёмкости). Возникающее дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным, с постоянными коэффициентами (см. задачу 7.1).

Общее решение полученного неоднородного линейного дифуравнения представляет собой сумму двух величин: частного решения неоднородного уравнения, выражающего принуждённый режим, задаваемый источниками, и решения соответствующего однородного дифуравнения, выражающего свободный режим.

В соответствии с этим для любого тока или напряжения можно записать: i = iпр + iсв, u = uпр + uсв,

где  iпр, uпр – принуждённые составляющие тока и напряжения;

iсв, uсв  – свободные составляющие тока и напряжения.

Метод нахождения электрических величин в виде суммы двух рассмотренных составляющих называется классическим.

Принуждённые составляющие рассчитываются любыми ранее изученными методами, а вид свободных составляющих зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Существует несколько способов составления характеристического уравнения.

1 способ. По имеющемуся дифференциальному уравнению:

Kn·  + Kn-1·  + … + K1·  + K0·i = f(t).

n-я производная заменяется на pn; . . . ; первая производная на p; сама величина – 1; правая часть – 0, то есть

Kn·pn + Kn-1·pn-1 + . . . + K1·p + K0 = 0.

2 способ.Путём записи входного сопротивления в операторной форме:

1. Источники заменяются их внутренними сопротивлениями, а ключ показывается в послекоммутационном состоянии.

2. Цепь размыкается в любом месте. Рекомендуется разрывать в ветви с конденсатором, а при его отсутствии – в ветви с индуктивностью.

3. Относительно полученных зажимов записывается входное сопротивле-ние в комплексной форме  Z(jw)  (индуктивное сопротивление – jwL, а ёмкостное – 1/(jwС)).

4. Производится замена jw = p. Получаем входное сопротивление Z(p) в операторной форме.

5. Полученное сопротивление приравниваем к нулю, т.е. Z(p) = 0. Это и есть характеристическое уравнение.

 

3 способ. Используя систему динамических уравнений цепи:

1. Составляется система динамических уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния цепи.

2. Полученная система алгебраизируется (из дифференциальных уравнения превращаются в алгебраические в операторной форме).

3. Определитель системы приравнивается к нулю и получается характеристическое уравнение.

 

Если корень характеристического уравнения один (обязательно отрицательный), свободная составляющая имеет вид: iсв(t) = A·ept,

где A – постоянная интегрирования;

Если корней два, оба действительные, отрицательные, разные, причём |p1| < |p2|, то               iсв(t) = A1· + A2· .

Если корней два – действительные, отрицательные, равные (p1 = р2 = р), то                    iсв(t) = A1·ept + A2·t·ept,

где A1 и A2 – две постоянные интегрирования;

Если корней два – комплексные, сопряжённые, т.е. p1,2 = -b ± jw0, то

iсв(t) = A·e-bt·sin(w0t + y),

где A и y – постоянные интегрирования.

Количество корней характеристического уравнения определяет число постоянных интегрирования и равно количеству накопителей энергии в цепи после коммутации.

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий (значения электрических величин и их производных в начальный момент после коммутации), которые делятся на независимые и зависимые. К независимым относятся значения в момент коммутации потокосцепления и тока индуктивности, заряда и напряжения конденсатора. Остальные начальные условия считаются зависимыми.

Высказанные выше положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может изменяться только плавно, без скачков, выра-жают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда ёмкости и называются законами коммутации.

Первый закон коммутации: в индуктивном элементе ток и магнитный поток непосредственно после коммутации сохраняют значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и  дальше начинают изменяться

именно с этих значений:  Y(0+) = Y(0-), iL(0+) = iL(0-),

где t = 0+ – момент сразу после коммутации,

t = 0- – момент непосредственно перед коммутацией.

Второй закон коммутации: на ёмкостном элементе напряжение и заряд сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная с этих значений:                  q(0+) = q(0-), uC(0+) = uC(0-).

При нулевых начальных условиях (iL(0-) = 0, uC(0-) = 0) индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а ёмкость – короткому замыканию. В случае ненулевых начальных условий (iL(0-) ¹ 0, uC(0-) ¹ 0) индуктивность в момент t = 0+ равносильна источнику тока, а ёмкость – источнику ЭДС.

В зависимости от порядка дифуравнений различают цепи первого, второго и более высокого порядка.

Сущность классического метода анализа ПП показана на примере зада-чи 7.1. Однако применен нерациональный порядок расчёта. Рекомендуется следующий порядок расчёта ПП:

1. Анализом цепи до коммутации определение независимых начальных условий.

2.  Запись искомых электрических величин (токов и напряжений) в виде суммы двух составляющих – принуждённой и свободной.

3. Расчёт принуждённых составляющих.

4. Вид свободных составляющих зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Поэтому тем или иным способом составляется и решается характеристическое уравнение.

5. Запись свободных составляющих с учётом вида корней.

6. Определение тем или иным способом необходимых начальных условий.

7. Нахождение постоянных интегрирования из начальных условий.

8. Запись искомых величин в окончательной форме.

ПП в цепях с одним накопителем

ЗАДАЧА 7.1. В схеме рис. 7.1 рассчитать напряжение на конденсаторе и токи переходного процесса. Параметры цепи:  U = 100 В,  r1 = 60 Ом, r2 = 40 Ом,  С = 10 мкФ. Построить график напряже-ния на конденсаторе.

Решение

В послекоммутационном режиме цепь описывается следующей системой уравнений по законам Кирхгофа относительно мгновенных значений токов и напряжения на конденсаторе:   i1 – i2 – iC = 0,

i1×r1 + uC = U,

i2×r2 – uC = 0.

Дополнительное уравнение – уравнение связи между током и напряже-

нием конденсатора:  iC = С .

Систему уравнений решаем способом подстановки – все токи выража-ем через напряжение на конденсаторе и подставляем в первое уравнение сис-темы. В результате система уравнений сводится к одному линейному неодно-родному дифференциальному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами. В скобках отметим, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае есть только один накопитель – конденсатор, поэтому и уравнение оказалось первого порядка.

i1 = ;  i2 = ;   iC = С ;   – – С = 0.

+ uC = .

 Решение уравнения uС(t) находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Отметим, что в курсе ТОЭ они называются, соответственно, принуждённой (или установившейся) и свободной составляющими: uС(t) = uCпр(t) + uCсв(t). Такой метод расчёта переходных процессов называется классическим. Вид принуждённой составляющей определяется видом правой части уравнения, то есть характером источника. В данном случае, поскольку источник постоянный, принуждённая составляющая напряжения на конденсаторе также будет постоянной, а = 0:

uCпр = × = ×U = ×100 = 40 В.

Вид свободной составляющей зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Поэтому составим и решим характеристическое уравнение. При составлении его по имеющемуся дифференциальному уравнению производная от uC заменяется на р, сама величина uC – на 1, правая часть принимается равной нулю:

р + = 0.

Решение уравнения: р = - = - = -4167 с –1.

При одном, обязательно отрицательном, корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид:  uCсв(t) = А×е рt. Постоянную интегрирования А находим, используя начальные условия. Напряжение на конденсаторе до коммутации: uC(0-) = U = 100 В.   Согласно второму закону коммутации, uC(0+) = uC(0-) =100 В. Таким образом, постоянная интегрирова-ния А = uCсв(0) = uC(0) – uCпр(0) = 100 – 40 = 60 В.

Окончательно получаем: uC(t) =40 + 60×е -4167t В.

Токи в ветвях: i1(t) = = = 1 – 1×е -4167t А,

i2(t) = = = 1 + 1,5×е -4167t А,

iC(t) = i1(t) – i2(t) = -2,5×е -4167t А.

Для построения графика uC(t) дополнительно вычислим:

- постоянная времени цепи t = 1/|p| = 1/4167 c = 0,24 мс,

- практическая длительность переходного процесса

Тпп = (3¸5)t = 4×t = 0,96 мс.

График uC(t) строим по составляющим: отдельно показываем принуждённую и свободную составляющие, а затем их графически суммируем. График представлен на рис. 7.2.

 

 

Задача 7.2. Рассчитать ток катушки и напряжение на индуктивности (рис. 7.3), если

u = 200 В, rк = 10 Ом, L = 25 мГн.

Построить графики i(t) и uL(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие: i(0+) = i(0-) = 0.

2. Расчёт принуждённого режима по схеме рис. 7.4:

iпр = 20 А;   uLпр = 0.

3. Характеристическое уравнение и его корень: rк + рL = 0, р = -400 с –1.

4. Свободные составляющие: iсв = Аеpt; uLсв = Bеpt.

5. Начальные условия: iсв(0+) = i(0+) – iпр = -20 А;

uLсв(0+) = uL(0+) = u – rкi(0+) = 200 B.

 

6. Постоянные интегрирования А = iсв(0+) = -20;  B = uLсв(0+) = 200.

7. Полные величины:  i(t) = 20 – 20е -400t А;  uL(t) = 200е -400t B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = = 2,5·10 -3 с; ТПП = 4·t = 0,01 с.

 Графики i(t), uL(t) на рис. 7.5.

Задача7.3. Определить ток и напряжение катушки при переключении её на добавочное сопротивление rд (рис. 7.6), если u = 200 В, rк = 10 Ом, L = 25 мГн, rд = 40 Ом.

Построить графики i(t), uк(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие:

i(0+) = i(0-) = = 20 А.

2. Принуждённые составляющие: iпр = 0; uкпр = 0.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

рL + (rд + rк) = 0,  р = -2000 с –1.

4. Свободные составляющие: iсв = Аеpt; uксв = Bеpt.

5. Начальные условия: iсв(0+) = i(0+) – iпр = 20 А;

uL(0+) = -i(0+)·(rд + rк) = -1000 В и uксв(0+) = uк(0+) = rкi(0+) + uL(0+)= -800 В.

6. Постоянные интегрирования А = iсв(0+) = 20;  B = uксв(0+) = -800.

7. Полные величины:  i(t) = 20е -2000t А;  uк(t) = -800е -2000t B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = 0,5·10 -3 с = 0,5 мс; ТПП = 2 мс.

 

 Графики i(t), uL(t) на рис. 7.7.

ЗАДАЧА 7.4. На рис. 7.8,а представлена схема для расчёта переходного процесса при включении трансформатора в режиме холостого хода. Причём u(t) = 100×sin(314t +Yu) В,  r = 20 Ом, L = 0,159 Гн. Рассчи-тать Yu для получения самого «тяжёлого» и «лёгкого» включения. Построить график тока «тяжёлого» включения. Определить величину ударного тока.

 



Решение

1. Независимое начальное условие нулевое – i(0+) = i(0-) = 0.

2. Расчёт тока выполним классическим методом. Принуждённая составляющая имеет вид: iпр(t) = im×sin(314t +Yi) = ×sin(314t + Yu – j).

Здесь Z = = = = 53,9 Ом,

j = arctg = arctg = 68,1°,  im = = = 1,86 A.

Таким образом, iпр(t) = 1,86×sin(314t +Y u – 68,1°) A.

Начальное значение принуждённой составляющей тока

 

iпр(0) = 1,86×sin(Yu – 68,1°) A.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

pL + r = 0, p = -r/L = 20/0,159 = -125,8 c –1.

Постоянная времени цепи и практическая длительность переходного процесса: t = 1/|p| =1/125,8 = 0,008 c, Tпп = (3¸5)t = (24¸40) мс.

Период колебаний принуждённой составляющей T = = 20 мс.

4. При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: iсв(t) = А×е рt.

Значение постоянной интегрирования

А = iсв(0) = i(0) – iпр(0) = -1,86×sin(Yu – 68,1°).

5. Самый «тяжёлый» переходный процесс (наибольшее значение сво-бодной составляющей) получится при  Yu – 68,1° = ±90°. То есть  Yu = 158,1° или  Yu = -21,9°.

Самый «лёгкий» (свободная составляющая отсутствует) – при

Yu – 68,1° = 0° или  ±180°. То есть Yu = 68,1° или Yu = -111,9°.

Если Yu – 68,1° = 90°, то Yu = 158,1°. Мгновенное значение переходно-го тока в этом случае записывается как

i(t) = iпр(t) + iсв(t) = 1,86×sin(314t + 90°) – 1,86×е -125,8t А.

6. График тока и его составляющих представлен на рис. 7.8,б.

7. Ударным током называется максимальное значение переходного тока.

Как видно из графика, наибольшего по величине значения iуд = 2,4 А ток достигает в момент времени t = 9,7 мс.

Задача7.5. Рассчитать ток переходного процесса при включении катушки на синусоидальное напряжение

u(t) = Um·sin(wt + yu) (рис. 7.9), если

um = 200 В, w = 1000 рад/с, yu = -30°, rк = 10 Ом, L = 25 мГн.

 Построить график i(t).

Ответ: i(t) = 7,43sin(1000t – 98,2°) + 7,35е -400t A;

график i(t) на рис. 7.10.

 

Задача7.6. Рассчитать ток переходного процесса и напряжение на ёмкости (рис. 7.11), если  u = 200 В, r = 100 Ом, C = 100 мкФ.

Построить графики i(t), uС(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие: uС(0+) = uС(0-) = 0.

2. Расчёт принуждённого режима по схеме рис. 7.12:

iпр = 0;   uСпр = u = 200 В.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

r + = 0, р = - = -100 с -1.

4. Свободные составляющие: iсв(t) = Аеpt; uСсв(t) = Bеpt.

5. Начальные условия:  uСсв(0+) = uС(0+) – uСпр = -200 B.

iсв(0+) = - = 2 А.

6. Постоянные интегрирования А = iсв(0+) = 2;  B = uСсв(0+) = -200.

7. Полные величины:  i(t) = 2е -100t А;  uС(t) = 200 – 200е -100t B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = 0,01 с; ТПП = 0,04 с.

 

 Графики i(t), uC(t) на рис. 7.13.

ЗАДАЧА 7.7. Определить ток и напряжение на ёмкости при переключении на добавочное сопротивление rд (рис. 7.14), если

u = 200 В, r = 100 Ом, С = 100 мкФ, rд = 400 Ом.

Построить графики i(t), uС(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие:

uС(0+) = uС(0-) = u = 200 В.

2. Принуждённые составляющие: iпр = 0; uСпр = 0.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

(rд + r) + = 0, р = - = -20 с -1.

4. Свободные составляющие: iсв = Аеpt; uСсв = Bеpt.

5. Начальные условия: uСсв(0+) = uС(0+) – uСпр = 200 B;

iсв(0+) = - = -0,4 А.

6. Постоянные интегрирования А = iсв(0+) = -0,4;  B = uСсв(0+) = 200.

7. Полные величины:  i(t) = -0,4е -20t А, uС(t) = 200е -20t B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = 0,05 с,     ТПП = 4t = 0,2 с.

Графики i(t), uC(t) на рис. 7.15.

 

ЗАДАЧА 7.8. Определить ток i(t) и напряже-ние на конденсаторе uС(t) (рис. 7.16), если

r = 100 Ом,  С = 10 мкФ, E0 = 300 В,

e(t) = 100sin(1000t – 90°) В.

Построить график i(t).




Решение

Анализом схемы до коммутации определим напряжение на конденсаторе по второму закону Кирхгофа: ri0(0-) – uС(0-) = E0.

i0(0-) = 0, следовательно, uС(0-) = -E0 = -300 В. 

Согласно второму закону коммутации uС(0+) = uС(0-) = -300 В.

Схема после коммутации описывается линейным дифуравнением

ri(t) + uС(t) = е(t), где uС(t) = , решение которого будем искать в виде: i = iпр + iсв; uС = uСпр + uСсв.

Для расчёта принуждённого режима воспользуемся символическим методом.

Еm = 100е –j90º B, хС = = = 100 Ом,

Z = r – jxC = 100 – j100 = 100 е –j45° Ом,

Imnp = = = 0,5 е –j45° = 0,707е –j45° A,

UCmnp = -jxC·Imnp = 100е –j90°·0,5 е –j45° = 50 е –j135° = 70,7е –j135° B.

Мгновенные значения принуждённых составляющих:

iпр(t) = 0,707sin(1000t – 45°) A,  uСnp(t) = 70,7sin(1000t – 135°) B.

Характеристическое уравнение запишем на основе дифуравнения

r + = 0, р = - = - = -1000 с -1.

Следовательно, свободные составляющие запишем в виде:

iсв(t) = Ае -1000t;  uСсв(t) = Bе -1000t.

Постоянные интегрирования определим из начальных условий.

При t = 0+ имеем: iсв(0+) = А; uСсв(0+) = B = uС(0+) – uСпр(0+),

где    uСпр(0+) = 70,7sin(-135°) = -50 B,

uСсв(0+) = B = -300 – (-50) = -250 B.

Дифуравнение для свободных составляющих при t = 0+ имеет вид:

riсв(0+) + uСсв(0+) = 0.

iсв(0+) = А = = = 2,5 А, т.е.

iсв(t) = 2,5е -1000t А;  uСсв(t) =-250е -1000t B.

Искомые величины имеют вид:

uС(t) = 70,7sin(1000t – 135°) – 250е -1000t B,

 

i(t) = 0,707sin(1000t – 45°) + 2,5е -1000t А.

Для построения графиков (рис. 7.17) определим постоянную времени цепи и длительность ПП:

t = = = 0,001 с,     ТПП = 4t = 0,004 с.

Период синусоиды Т = = = 0,00628 с = 6,28 мс.

Результаты расчётов по построению графика сведём в табл. 7.1.

Таблица 7.1

t, мс 0 0,75 1,5 2,25 3 3,75 4,5 5,25 6 6,75
iпр, А -0,5 -0,02 0,46 0,7 0,57 0,12 -0,38 -0,7 -0,62 -0,22
iсв, А 2,5 1,18 0,56 0,26 0,12 0,06 0,03 0,01 0,006 0,003
i, А 2,0 1,16 1,02 0,96 0,69 0,18 -0,35 -0,68 -0,614 -0,217

 

Задача7.9. Рассчитать токи переходного процесса и напряжение на индуктивности в схеме рис. 7.18, если

E = 150 В, r1= r2= 10 Ом, r3= r4= 5 Ом, L = 20 мГн.

Построить графики i2(t), uL(t).

 

Решение

1. Анализом схемы до коммутации определим независимое начальное условие, которым здесь является ток в индуктивности – i2(0-).

Схема до коммутации имеет вид рис. 7.19. Ток в индуктивности

i2(0-) = · = · =3,75 А.

Согласно первому закону коммутации имеем  i2(0+) = i2(0-) = 3,75 А.

2. Схема после коммутации имеет вид рис. 7.20 и описывается системой линейных дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа        i1(t) = i2(t) + i3(t),

r1i1 + r2i2 + L = E,

r1i1 + (r3 + r4)·i3 = E,

решение которой будем искать в виде iq(t) = iqпр(t)+iqсв(t); uL(t) = uLпр(t)+uLсв(t).

3. Принуждённый режим:

i1пр = = = 10 А;

i2пр = i1пр· = 10· = 5 А;

i3пр = i1пр – i2пр = 10 – 5 = 5 А,   uLпр = 0.

4. Свободный режим.

Составим характеристическое уравнение путём записи входного сопротивления в операторной форме (2-й способ): + r1 = 0.

Но можно составить характеристическое уравнение и относительно ветви с накопителем, при этом источник заменяется его внутренним сопротивлением (рис. 7.21). Тогда вид уравнения будет проще:

+ r2 + pL = 0; + 10 + 20·10 -3·p = 0;  p = -750 c -1.

Тогда i1св = А1еpt = А1е -750t; i2св = А2е -750t; i3св = А3е -750t; uLсв = Bе -750t.

Постоянные интегрирования определим при t = 0+.

I способ решения

Схема после коммутации для t = 0+ имеет вид рис. 7.22. По методу двух узлов

uab(0+) = = = 56,25 B.

Токи в момент коммутации

i1(0+) = = = 9,375 А,

i3(0+) = = = 5,625 А или i3(0+) = i1(0+) – i2(0+) = 5,625 А,

uL(0+) = uab(0+) – r2i2(0+) = 56,25 – 10·3,75 = 18,75 B.

Запишем свободные составляющие при t = 0+:

i1св(0+) = А1 = i1(0+) – i1пр = 9,375 – 10 = -0,625 А,

i2св(0+) = А2 = i2(0+) – i2пр = 3,75 – 5 = -1,25 А,

i3св(0+) = А3 = i3(0+) – i3пр = 5,625 – 5 = 0,625 А,

uLсв(0+) = B = uL(0+) – uLпр = 18,75 – 0 = 18,75 B.

Итак: i1св(t) = -0,625е -750t А,  i1(t) = 10 – 0,625е -750t А,

i2св(t) = -1,25е -750t А,    i2(t) = 5 – 1,25е -750t А,

i3св(t) = 0,625е -750t А,   i3(t) = 5 + 0,625е -750t А,

uL(t) = uLсв(t) = 18,75е -750t B.

II способ решения

Постоянную интегрирования А2 можно определить сразу, так как ток

i2 подчиняется первому закону коммутации:

А2 = i2(0+) – i2пр = 3,75 – 5 = -1,25 А,

i2св(t) = А2е -750t = -1,25е -750t А,  i2(t) = i2пр(t) + i2св(t) = 5 – 1,25е -750t А.

Определим напряжение на индуктивности

uL(t) = L = 20·10 -3·(-1,25)(-750)е -750t = 18,75е -750t B.

Узловое напряжение

uab(t) = r2i2(t) + uL(t) = 10·(5 – 1,25е -750t) + 18,75е -750t = 50 + 6,25е -750t B.

Токи i3(t) = = = 5 + 0,625е -750t А,

i1(t) = i2(t) + i3(t) = 5 – 1,25е -750t + 5 + 0,625е -750t = 10 – 0,625е -750t А.

5. Построим графики i2(t) и uL(t). Длительность переходного процесса

ТПП = 4t = =  с = 5,33 мс.

Результаты расчётов представим в виде табл. 7.2.

Таблица 7.2

t, мс 0 1,33 2,67 4 5,33
i2св, А -1,25 -0,46 -0,17 -0,06 -0,02
i2, А 3,75 4,54 4,83 4,94 4,98
uL, В 18,75 6,9 2,54 0,93 0,34

 

Графики представлены на рис. 7.23.

 

ЗАДАЧА 7.10. В схеме рис. 7.24,а рассчитать токи переходного процесса классическим методом. Параметры цепи: U = 50 В, r1 = r3 = 100 Ом, r2 = 50 Ом, С = 100 мкФ.





Решение

1. Состояние цепи до коммутации: i1(t-) = i2(t-) = 0, uC(t-) = U = 50 В. В соответствии со вторым законом коммутации независимое начальное усло-

вие – uC(0+) = uC(0-) = 50 В.

2. Согласно классическому методу искомые переходные токи записываются в виде суммы принуждённых и свободных составляющих:

i1 = i1пр + i1св, i2 = i2пр + i2св, i3 = i3пр + i3св.

3. Рассчитываем принуждённые составляющие токов:

i2пр = 0;  i1пр = i3пр = = = 0,25 А.

3. Характеристическое уравнение составим, используя входное сопротивление в операторной форме (см. 7.1.1, второй способ составления характеристического уравнения): Z(p) = + r2 + = 0.

Корень характеристического уравнения:

p = - = - = -100 с –1.

4. Свободные составляющие токов при одном корне характеристиче-ского уравнения:  i1св = А×е рt, i2св = В×е рt, i3св = D×е рt.

5. Постоянные интегрирования А, В, D находятся с использованием начальных условий, которые, однако, можно получить разными способами. Рассмотрим некоторые из них. 

а) первый способ. Составляется система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного режима для начального момента времени:  i1(0) – i2(0) – i3(0) = 0,

i1(0)×r1 + i2(0)×r2 + uC(0) = U,

i1(0)×r1 + i3(0)×r3 = U.

С числовыми значениями:  i1(0) – i2(0) – i3(0) = 0,

i1(0)×100 + i2(0)×50 + 50= 50,

i1(0)×100 + i3(0)×100 = 50.

Решение системы: i1(0) = 0,125 А, i2(0) = -0,25 А, i3(0) = 0,375 А.

Постоянные интегрирования:

А = i1св(0) = i1(0) – i1пр = 0,125 – 0,25 = -0,125;

В = i2св(0) = i2(0) – i2пр = -0,25 – 0 = -0,25;

D = i3св(0) = i3(0) – i3пр = 0,375 – 0,25 = 0,125.

б) второй способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме, составленной на начальный момент времени. Здесь используется следствие из законов коммутации: индуктивность в момент коммутации ведёт себя как источник тока с током iL(0), ёмкость – как источник ЭДС с напряжением uC(0). Для начального момента времени, таким образом, получаем схему рис. 7.25,а. Учитывая, что в цепи оказались два одинаковых источника uC(0) = U, можем утверждать, что потенциалы точек а и b одинаковы, и точки можно соединить перемычкой. Получаем схему рис. 7.25,б, из которой находим начальные значения токов:  i3(0) = =  = 0,375 А,

i1(0) = i3(0)× = 0,375× = 0,125 А,

i2(0) = i1(0) – i3(0) = 0,125 – 0,375 = -0,25 А.

Далее постоянные интегрирования определяются как в первом способе.

 

в) третий способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме для начального момента времени только для свободных составляющих (рис. 7.25,в). Определим необходимое начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе. Значение принуждённой составляющей: uCпр = i3пр×r3 = 0,25×100 = 25 В.

uCсв(0) = uC(0) – uCпр = 50 – 25 = 25 В.

Постоянные интегрирования: В = = = -0,25;

А = В× = -0,25× = -0,125,

D =-В× = 0,25× = 0,125.

6. Записываем окончательные выражения для токов:

 

i1(t) = 0,25 – 0,125×е –100t A; i2(t) = -0,25×е –100t A; i3(t) = 0,25 + 0,125×е –100t A.

7. Для построения графика i1(t) вычислим:

- постоянная времени цепи t = 1/|p| = 1/100 c = 10 мс,

- практическая длительность переходного процесса Тпп = (3¸5)t = 4×t = 40 мс.

График представлен на рис. 7.26.

 

ЗАДАЧА 7.11. В схеме рис. 7.27 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи: U = 60 В, r1 = 9 Ом,

r2 = r3 = 30 Ом, r = 10 Ом, L = 0,4 Гн.

Ответы: i1(t) = 2,5 – 0,346×е –92,3t A;

i2(t) = 1,25 – 0,450×е –92,3t A;

i3(t) = 1,25 + 0,104×е –92,3t A.

 

ЗАДАЧА 7.12. В схеме рис. 7.28 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи:

U = 300 В, r1 = r2 = r3 = 100 Ом, L = 0,5 Гн.

Ответы: i1(t) = 3 – е –100t A;

i2(t) = е –100t A;

i3(t) = 3 – 2×е –100t A.

 

ЗАДАЧА7.13. В схеме рис. 7.29 рассчитать напряжение на конденсаторе и токи переходного процесса. Параметры цепи: U = 100 В, r1 = 50 Ом, r2 = r3 = 100 Ом, С = 60 мкФ.

Ответы: uС(t) = 66,67 + 33,33×е –125t В;

i1(t) = 0,667 – 0,167×е –125t A; i2(t) = -0,250×е –125t A; i3(t) = 0,667 + 0,083×е –125t A.

ЗАДАЧА7.14. Решить задачу 7.13 со следующими числовыми данными:  U = 200 В, r1 = r3 = 20 Ом, r2 = 10 Ом, С = 50 мкФ.

Ответы: uС(t) = 100 + 100×е –1000t В;

i1(t) = 5 – 2,5×е –1000t A; i2(t) = -5×е –1000t A; i3(t) = 5 + 2,5×е –1000t A.

 

 

ЗАДАЧА 7.15. В схеме рис. 7.30,а рассчитать токи переходного про-цесса классическим методом. Параметры цепи: u(t) = 100×sin(100t + 30°) В, r1 = 173 Ом, r2 = 100 Ом, С = 100 мкФ.




Решение

1. Независимое начальное условие получим расчётом цепи до коммутации: i2(t-) = 0; i1(t-) = i3(t-) = I1m×sin(100t + yi1);

I1m = = = 0,5 A,

yi1 = yu – arctg = 30° + arctg = 60°,

Ucm = I1m× = 0,5×100 = 50 B, yuC = yi1 – 90° = -30°;

uC(t-) = Ucm×sin(100t + yuC) = 50×sin(100t – 30°) B.

Независимое начальное условие с учётом второго закона коммутации:

uC(0+) = uC(0-) = 50×sin(-30°) = -25 B.

2. В соответствии с классическим методом расчёта

uС(t) = uСпр(t) + uСсв(t),

i1(t) = i1пр(t) + i1св(t), i2(t) = i2пр(t) + i2св(t), i3(t) = i3пр(t) + i3св(t).

3. Принуждённые составляющие рассчитаем символическим методом:

Um = 100×е j30° B,

Z = r1 + = 173 + = 228,7×е –j12,6° Ом,

I1прm = = = 0,437×е j42,6° A,

I2прm = I1прm× = 0,437×е j42,6°× = 0,309×е –j2,4° A,

I3прm = I1прm× = 0,437×е j42,6°× = 0,309×е j87,6° A,

UCпрm = I2прm×r2 = 0,309×е –j2,4°×100 = 30,9×е -j2,4° B.

Мгновенные значения принуждённых токов:

i1пр(t) = 0,437×sin(100t + 42,6°) А, i2пр(t) = 0,309×sin(100t – 2,4°) А,

i3пр(t) = 0,309×sin(100t + 87,6°) А.

Мгновенное




123Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 644.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...