МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

Сущность метода заключается в представлении несимметричной системы величин А, В, С в виде суммы трёх симметричных систем: прямой А₁, В₁, С₁, имеющей такую же последовательность, как и исходные величины, обратной А₂, В₂, С₂, имеющей противоположную последовательность, и нулевой последовательности, состоящей из трёх одинаковых по величине и направлению векторов А₀.

Определение симметричных составляющих производится по формулам:

А₀= (А + В + С), А₁= (А + a×В + a²×С), А₂= (А + a²×В + a×С),

где a = e ^j120° – фазный множитель.

Сопротивления приёмника токам различных последовательностей называются сопротивлением прямой последовательности Z₁, обратной последовательности Z₂ и нулевой последовательности Z₀. Для схемы Y–Y они имеют значения

Z₁ = Z₂ = Z,       Z₀ = Z + 3Z_N ,

где Z – сопротивление фазы приёмника, Z_N   – сопротивление нейтрали.

Для асинхронного двигателя характерно такое соотношение:

Z₁ >> Z₀ >> Z₂.

Расчёт симметричных цепей с несимметричным источником состоит из трёх этапов: разложение заданной несимметричной системы на симметричные составляющие; расчёт токов каждой из последовательностей в отдельности; суммирование токов всех последовательностей.

Расчёт аварийных режимов (КЗ, обрыв фазы) симметричных цепей производится следующим образом: в месте аварии вводятся системы трёх несимметричных напряжений U_A-U_B-U_C и трёх несимметричных токов I_A-I_B-I_C. Каждая из этих систем раскладывается на симметричные составляющие U₁-U₂-U₀, I₁-I₂-I₀. Далее рассматриваются схемы прямой, обратной и нулевой последовательностей, для каждой из которых составляются уравнения, связывающие U₁ с I₁, U₂ с I₂ и U₀ с I₀. Еще три уравнения составляются для аварийного участка и их вид определяется видом аварии. Решение этих уравнений даёт U₁, U₂, U₀, I₁, I₂, I₀, через которые могут быть определены все интересующие нас величины.

ЗАДАЧА 4.26. При соединении вторичных обмоток силового трёхфаз-ного трансформатора неверно были определены начало и конец обмотки BY. В результате соединения обмоток в звезду (рис. 4.33,а) система ЭДС приняла вид рис. 4.33,б.

Найти симметричные составляющие представленной несимметричной системы, если E_A = E_B = E_C = 220 B.

Решение

Примем E_A = 220 B (рис. 4.33б), тогда

E_B = 220×e ^j60° B, E_C = 220×e ^j120° B.

Составляющая нулевой последовательности

E₀= (E_A + E_B + E_C) = (220 + 220×e ^j60°+ 220×e ^j120°) = ×e ^j60° = 146,7×e ^j60° B.

Составляющая прямой последовательности

E₁= (E_A + a×E_B + a²×E_C), где a = e ^j120°, откуда

E₁= (1 + e ^j120°×e ^j60°+ e ^-j120°×e ^j120°) = = 73,33 B.

Составляющая обратной последовательности

E₂= (E_A + a²×E_B + a×E_C) = (1 + e ^–j120°×e ^j60°+ e ^j120°×e ^j120°) = 146,7×e ^-j60° B. 

Проверим результат разложения векторов на симметричные составляющие:

E_A = E₀+ E₁+ E₂= 146,7×e ^j60°+ 73,33 + 146,7×e ^-j60° = 220 B;

E_B = E₀+ a²×E₁+ a×E₂= 146,7×e ^j60° + 73,33×e ^–j120° + 146,7×e ^-j60°×e ^j120° = 220×e ^j60° B;

E_C = E₀+ a×E₁+ a²×E₂= 146,7×e ^j60° + 73,33×e ^j120° + 146,7×e ^-j60°×e ^–j120° = 220×e ^j120° B.

Определить симметричные составляющие несимметричной системы линейных напряжений. Найти коэффициент несимметрии.

Решение

Примем U_AB = U_AB = 360 B, тогда на основании рис. 4.34,б

U_BC = U_AB×e ^–j90° = 360×e ^–j90° B.

Так как линейные напряжения образуют замкнутый контур, то

 U_AB + U_BC + U_CA º 0, и U_CA = -(U_AB + U_BC) = -(360+ 360×e ^–j90°) =

= -360×(1 – j) = 360 ×e ^j135° B.

Составляющая нулевой последовательности в линейных напряжениях отсутствует, так как U₀= (U_AB + U_BC + U_CA) = ×0 = 0.

Составляющая прямой последовательности

U₁= (U_AB + a×U_BC + a²×U_CA) = (360 + e ^j120°×360×e ^–j90°+ e ^-j120°×360 ×e ^j135°) =

= 388 + j104 = 402×e ^j15° B. 

Составляющая обратной последовательности

U₂= (U_AB + a²×U_BC + a×U_CA) = (1 + e ^–j120°×e ^–j90°+ e ^j120°× ×e ^j135°) =

= -28 – j104 = 108×e ^-j105° B. 

Коэффициент несимметрии k = = = 0,269 или  k = 26,9%.

Заметим, что по Правилам технической эксплуатации установок потребителей (ПТЭ) степень несимметрии (коэффициент несимметрии) не должна превышать 4%.

ЗАДАЧА 4.28. К системе напряжений задачи 4.27 подключен соеди-нённый звездой асинхронный трёхфазный двигатель, каждая фаза которого имеет сопротивления: при прямом порядке чередования фаз Z₁= 8 + j6 Ом, при обратной последовательности – Z₂= 4,5 + j1 Ом. Найти токи в фазах двигателя.

Решение

Представим, что двигатель подключен к несимметричному генератору, а обмотки последнего соединены в звезду (рис. 4.35,а).

Рассчитаем симметричные составляющие фазных ЭДС несимметричного генератора, используя ранее найденные симметричные составляющие линейных напряжений U₁ и U₂ и их соотношения, представленные на векторных диаграммах рис. 4.35,б и 4.35,в:

E₁ = ×e ^–j30°= ×e ^–j30°= 232×e ^–j15° В;

E₂ = ×e ^j30°= ×e ^j30°= 62,4×e ^–j75° В.

ЭДС несимметричного генератора выражаются через их симметричные составляющие:  E_А = E₁ + E₂ = 232×e ^–j15°+ 62,4×e ^–j75°= 268,7×e ^–j26,60° В,

E_В = a²×E₁ + a×E₂ = 232×e ^–j135°+ 62,4×e ^j45°= 169,6×e ^–j135° В,

E_С = a×E₁ + a²×E₂ = 232×e ^j105°+ 62,4×e ^–j195°= 268,7×e ^j116,6° В.

Расчёт тока прямой последовательности:

I₁ = =  = 23,2×e ^–j51,87° А.

Расчёт тока обратной последовательности:

I₂ = =  = 13,54×e ^–j87,53° А.

Токи в фазах двигателя рассчитаем с учётом того, что в трёхфазной трёхпроводной  системе  составляющие токов нулевой последовательности (I₀ =0) отсутствуют:

I_А = I₁ + I₂ = 23,2×e ^–j51,87°+ 13,54×e ^–j87,53°= 35,10×e ^–j64,86° А,

I_В = a²×I₁ + a×I₂ = 23,2×e ^–j171,87°+ 13,54×e ^j32,47°= 12,22×e ^j160,95° А,

I_С = a×I₁ + a²×I₂ = 23,2×e ^j68,13°+ 13,54×e ^–j207,53°= 27,99×e ^j96,90° А.

ЗАДАЧА 4.29. Двигатель зада-чи 4.28 был подключен к симметрич-ной трёхфазной цепи с линейным напряжением U = 380 B. В цепи про-изошёл обрыв линейного провода С.

Выполнить тот же расчёт, что и в задаче 4.27 для новых условий работы двигателя.

Решение

В симметричной трёхфазной цепи произошло продольное нарушение симметрии, что может трактоваться как последовательное подключение несимметричного приёмника с пока неизвестными напряжениями U_А, U_В, U_С и токами I_А, I_В, I_С. Расчётная схема новых условий работы двигателя представлена на рис. 4.36.

Отметим, что в фазах неизвестного пока подключения могут содержаться как пассивные, так и активные элементы цепи.

Выполним формальное разложение несимметричных систем напряжений и токов подключения на симметричные составляющие.

U₀= (U_A + U_B + U_C)                     I₀= (I_A + I_B + I_C),

U₁= (U_A + a×U_B + a²×U_C) (1),   I₁= (I_A + a×I_B + a²×I_C),       

U₂= (U_A + a²×U_B + a×U_C)              I₂= (I_A + a²×I_B + a×I_C).

Определим симметричные составляющие заданной системы ЭДС генератора: по условию она остаётся симметричной, прямой последовательности при нарушении симметричного режима работы схемы. Симметричная система ЭДС не содержит составляющих обратной и нулевой последовательности, то есть для ЭДС  E_A, E_B, E_C  получаем:

E₂= E₀= 0; E₁= = = 220 B.

В отношении симметричных составляющих вся схема становится симметричной и её расчёт можно вести по схемам замещения для одной фазы применительно к каждой системе.

В соответствии с законами Кирхгофа для схем замещения получаем 3 уравнения для определения шести симметричных составляющих неизвест-ных напряжений и токов:

I₁×Z₁ + U₁ = E₁; I₂×Z₂ + U₂ = 0; I₀ = 0.                                 (2)

Недостающие уравнения получим, исходя из характеристики несимметричности участка в соответствии с рис. 4.38 при обрыве линейного провода С:

; ; U_С ¹ 0;

I_А ¹ 0;  I_В ¹ 0;  .

Три подчеркнутых уравнения определённые. Перепишем их, заменив U_А, U_В, I_С их симметричными составляющими (пока неизвестными):

U_A = U₀+ U₁+ U₂= 0;

U_B = U₀+ a²×U₁+ a×U₂= 0;            (3)

I_C = I₀+ a×I₁+ a²×I₂= 0.

Из системы (1) с учётом того, что

U_А = 0, U_В = 0 получаем

U₀= U_С, U₁= a²×U_С, U₂= a×U_С, откуда = a    (4);

Учтём, что I₀= 0. На основании (3) получаем

a×I₁+ a²×I₂= 0, откуда I₂= -a²×I₁            (5).

Оставшиеся уравнения (2) представим в виде

U₁ = E₁ – I₁×Z₁, U₂ = -I₂×Z₂, откуда с учётом (4) имеем

= = a, а с учётом (5) = a.

Так как a³ = 1, получаем E₁ – I₁×Z₁ = I₁×Z₂, откуда

I₁ = = = 15,4×e ^–j29,25° А,

I₂ = -a²×I₁ = -e ^–j120°×15,4×e ^–j29,25° = 15,4×e ^j30,75°  А,

I₀= 0.

Токи в фазах двигателя:

I_А = I₁ + I₂ = 15,4×e ^–j29,25°+ 15,4×e ^j30,75°= 26,6×e ^j0,75° А,

I_В = a²×I₁ + a×I₂ = 15,4×e ^–j149,25°+ 15,4×e ^j150,75°= 26,6×e ^-j179,25° А,

I_С = a×I₁ + a²×I₂ = 15,4×e ^j90,75°+ 15,4×e ^–j89,25°= 0.