Применение ПЭВМ для расчёта цепей со взаимной индуктивностью

ЗАДАЧА 3.63. В схеме рис. 3.55 рассчитать токи во всех ветвях цепи, если Е₁= 220 B, Е₂= 220×e ^j120° B, J = -j5 A, Z₁ = 10 + j10 Ом, Z₂ = 20 + j30 Ом, Z₃ = 40 – j15 Ом, M₁₂ = 31 мГн,  М₁₃ = 50 мГн,  М₂₃ = 70 мГн. Частота 50 Гц. Составить баланс мощностей.

Программа решения задачи в системе MathCAD

Исходные данные

j:=    Е1:= 220      Е2:= 220×e ^j×120×deg     J := -j×5     ORIGIN:= 1

Z1 := 10 + j×10 Z2 := 20 + j×30 Z3 := 40 – j×15

M12 := 0.031      М13 := 0.05        М23 := 0.07

Решение

Определим величины сопротивлений взаимной индукции

w := 100×p  ZM12 := j×w×M12 ZM13 := j×w×M13 ZM23 := j×w×M23

Расчёт токов произведём методом контурных токов (см. рис. 3.55) с учётом того, что третий контурный ток равен току источника J.

Матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС

Zk :=

Ek :=

Контурные токи Ik := Zk ^-1×Ek    Ik =

Токи ветвей I1 := Ik₁ I2 := Ik₂  I3 := - J + Ik₁ + Ik₂

I1 = -0.582 – 8.225i I2 = -2.191 + 3.966i I3 = -2.773 + 0.741i

Мощность источников  Si := E1· + E2· + ·(-I3·Z3 – I1·ZM13 + I2·ZM23)

Si = 1.42´10³ + 1.245i´10³

Напряжения взаимоиндукции на индуктивно связанных элементах

UM1 := -I2·ZM12 + I3·ZM13      UM2 := -I1·ZM12 – I3·ZM23

UM3 := I1·ZM13 – I2·ZM23  

Реактивная мощность взаимоиндукции

SM := UM1· + UM2· + UM3·           SM = 73.123i

Мощность приёмников

Spr := (|I1|)²·Z1 + (|I2|)²·Z2 + (|I3|)²·Z3 + SM        Spr = 1.42´10³ + 1.245i´10³

Баланс мощностей Si = Spr выполняется.

ЗАДАЧА 3.64.   Рассчитать   токи  в  схеме  рис. 3.63,а,  если    e₂(t) = = 200 ×sin(wt - 30°) B, e₃(t) = 100 ×sin(wt - 90°) B, e₄(t) = 150 ×sinwt B, e₅(t) = 250 ×sin(wt + 45°) B, j_k4(t) = 8 ×sin(wt + 90°) A, r₁ = 10 Ом, x₁ = =15 Ом,  r₂ = 30 Ом,  x₂ = 20 Ом,   x_M12 = 12 Ом,  r₃ = 25 Ом,   r₄ = 16 Ом, x₄ = =12 Ом,  x₅ = 40 Ом,  r₆ =14 Ом, x₆ =18 Ом, r₇ = 24 Ом,  x₇ =16 Ом,  x_M67 =13 Ом.

Решение

Выбираем произвольные направления токов в ветвях (указаны на рис. 3.63,а) и строим граф схемы (рис. 3.63,б).

Обратим внимание на то, что в приведенной схеме есть одна обобщённая ветвь №4 с током ветви i₄ и током сопротивления ветви i_r4.

Примем за базисный узел №4 с комплексным потенциалом j ₄ = 0. В приведенной схеме три узла с неизвестными потенциалами и четыре главных контура. В этом случае рациональнее решать задачу расчёта токов методом узловых потенциалов.

Используем ПЭВМ для формирования и решения расчётных уравнений.

Программа решения задачи в системе MathCAD

ORIGIN := 1 j :=

Сопротивления

Z1 := 10 + j×15 Z2 := 30 + j×20 Z3 := 25   Z4 := 16 – j×12 Z5 := -j×40

Z6 := 14 + j×18    Z7 := 24 – j×16 ZM12 := j×12 ZM67 := j×13  

Источники

Е2:= 200×e ^-j×30×deg Е3:= 100×e ^-j×90×deg Е4:= 150 Е5:= 250×e ^j×45×deg J4 := j×8

Матрицы ЭДС и источников тока ветвей

Е :=  J :=

Матрицы сопротивлений ветвей (Z), соединений (A) и главных контуров (B)

A :=  B :=

Матрицы проводимостей, суммарных узловых токов и потенциалов узлов Y := A×Z^-1×A^T   Jc := A×J^T - A×Z^-1×E^T   j  := Y^-1×Jc

j  =

Токи ветвей I := -J^T×Z^-1×(A^T×j + E^T) I =

Проверка баланса мощностей

Мощности источников

Si := -E2× + E3× + E4× + E5 + (j ₂– j ₃)×

Si = 3.506×10³ – 1.762i×10³

Активные мощности приёмников

P := + + (|I₄ + J₄|)²×Re(Z_4,4)

P = 3.506×10³

Реактивные мощности приёмников

Q := + + (|I₄ + J₄|)²×Im(Z_4,4)+

+ 2×Im(I₁× ×j×Im(Z_1,2)) + 2×Im(I₆× ×j×Im(Z_6,7))

Q = –1.762i×10³