МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Решение

Задачу решим методом контурных токов. В качестве контурных токов взяты: I_I = J1, I_II = J2, I_III = I₁; направления обхода контуров показаны на рис. 1.61.

Токи ветвей, являющиеся управляющими, запишем через контурные токи: I₁ = I_III; I₂ = I_II + I_III. Тогда токи управляемых источников (они же и контурные токи):

I_I = J1 = 0,2×I₁ = 0,2×I_III; I_II = J2 = 0,5×I₂ = 0,5×I_II + 0,5×I_III.

Из последнего уравнения вытекает, что I_II = I_III.

Поскольку неизвестным считается только один контурный ток (I_III), для него и составляем контурное уравнение:

(R1 + R2 + R3 + R4)×I_III– (R3 + R4)×I_I + (R2 + R3)×I_II = E

или (R1 + R2 + R3 + R4)×I_III– (R3 + R4)×0,2×I_III + (R2 + R3)×I_III = E.

Отсюда третий контурный ток:

I_III= =

= = 0,714 А.

Токи управляемых источников (остальные контурные токи):

J1 = I_I = 0,2×I_III = 0,2×0,714 = 0,143 А;        J2 = I_II = I_III = 0,714 А.

Токи ветвей, выраженные через контурные токи:

I₁ = I_III = 0,714 А; I₂ = I_II + I_III = 0,714 + 0,714 = 1,428 А;

I₃ = I_II + I_III – I_I = 0,714 + 0,714 – 0,143 = 1,285 А;

I₄ = I_III – I_I = 0,714 – 0,143 = 0,571 А.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для третьего контура имеет вид:

R1×I₁ + R2×I₂ + R3×I₃ + R4×I₄ = Е.

Подставим числовые значения:

10×0.714 + 40×1.428 + 10×1.285 + 40×0.571 = 99,95 » 100 В.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Между величинами, характеризующими электрические и магнитные цепи, существует формальная аналогия:

Эта формальная аналогия распространяется и на уравнения, описывающие состояние цепей:

- первый закон Кирхгофа: S I = 0,     S Ф = 0;

- второй закон Кирхгофа: S U_r = S Е, S U_М = S F;

- закон Ома:                      U_r = I×r,     U_М = Ф×R_M ;

причём в последних выражениях используются статические сопротивления электрических элементов (r) и магнитных элементов (R_M).

Свойства нелинейных элементов определяются их характеристиками: электрических – вольтамперными U = f(I), магнитных – веберамперными Ф = f(U_M).

Системы уравнений, описывающих состояние цепей, составляются с помощью законов Кирхгофа. С точки зрения математики – это нелинейные алгебраические уравнения, для разрешения которых применяются различные приближённые методы, которые в курсе ТОЭ называют методами расчёта нелинейных цепей.

Наиболее часто употребляются:

1) графические методы;

2) графо-аналитические методы;

3) численные методы.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Свойства нелинейных элементов определяются их вольтамперными характеристиками и в рассматриваемых задачах анализа электрических цепей считаются заданными: либо снятыми экспериментально с помощью вольтметров и амперметров, либо определяются паспортными данными по каталогам или данным заводов-изготовителей.

ЗАДАЧА 2.1. На рис. 2.1,а приведена вольтамперная характеристика лампы накаливания с вольфрамовой нитью, на рис. 2.1,б – стабилитрона, на рис. 2.1,в – туннельного диода. Для указанных точек (рабочих точек устройства, точек равновесия) определить статические и дифференциальные сопротивления элементов.

Решение

Проведём через указанные точки секущие из начала координат (сек) и касательные (кас). Для рис. 2.1,а получаем:

r_стА = = = 30 Ом,             r_дА = = lim = = 45,5 Ом;

r_стВ = = = 83,3 Ом,       r_дВ = = = 250 Ом;

r_стС = = = 156,3 Ом,     r_дС = = = 385 Ом.

Для рис. 2.1,б получаем:

r_стА = = 6,25 Ом,                   r_дА = = 0,25 Ом;

r_стВ = = ¥ Ом,                       r_дВ = = ¥ Ом;

r_стС = = 25 Ом,                  r_дС = = 0 Ом.

Для рис. 2.1,в получаем:

r_стА = = 13,3 Ом,        r_дА = = 13,3 Ом >0;

r_стВ = = 150 Ом,         r_дВ = = = -96,2 Ом < 0;

r_стС =

Ом,       r_дС =

Заметим, что на спадающем участке вольтамперной характеристики дифференциаль-ное сопротивление отрицательное.

ЗАДАЧА 2.2. Рассчитать ток цепи рис.2.2, проверить баланс мощностей, если U = 100 В, r₂ = 20 Ом,  вольтамперные характеристики нелинейных резисторов заданы таблицами:

Таблица 2.1                                              Таблица 2.2

Решение

Воспользуемся графическим методом расчёта нелинейной электрической цепи, предварительно составив систему расчётных уравнений:

по второму закону Кирхгофа U₁ + U₂ + U₃ = U,

причём из-за последовательного соединения резисторов их токи одинаковы:

I₁ = I₂ = I₃ = I,

связи между токами и напряжениями участков с нелинейными элементами

U₁= f₁(I₁)  – таблица 1,  U₃= f₂(I₃)  – таблица 2,

а для линейного элемента по закону Ома имеем аналитическую зависимость

U₂ = I₂×r₂.

Графические построения, соответствующие приведенной системе уравнений, показаны на рис. 2.3 и выполнены в системе прямоугольных координат I(U).

Перепишем исходное уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа, оставив в левой части напряжения на нелинейных элементах, а в правую часть перенесём линейное соотношение   U₂ = I×r₂:

U₁ + U₃ = U – I×r₂.

Построим вспомогатель-ные зависимости (рис. 2.3)

(U₁ + U₃)(I)  и  (U – I×r₂)(I),

точка пересечения А которых определяет решение задачи:

I = 2,5 А, U₁ = 25 В, U₃ = 25 В.

Проверка баланса мощ-ностей:

- мощность источника питания (генератора)

Р_Г = U×I = 100×2,5 = 250 Вт;

- сумма потребляемых резисторами мощностей

SР_П = U₁×I + U₃×I + I ²×r₂ = 25×2,5 +25×2,5 + 2,5²×20 = 250 Вт.

Баланс мощностей Р_Г =SР_П  сходится, задача решена верно.

ЗАДАЧА 2.3. Графическим методом рассчитать токи в схеме рис. 2.4 и напряжение источника питания, проверить баланс мощностей, если

I₁₃ = 5 А, r₃ = 14 Ом,

вольтамперные характеристики нелиней-ных резисторов заданы таблицами:

Таблица 2.3                                                   Таблица 2.4

Решение

Для параллельного соединения исходные уравнения запишем по первому закону Кирхгофа, к которым добавим уравнения связей между токами и напряжениями участков:   I₁₃ = I₁ + I₃,      I = I₂ + I₁₃,

I₁ = f₁(U₁),  I₂ = f₂(U₂),  U₃ = I₃×r₃,  причём U = U₁ = U₂ = U₃.

Решим сначала первое из приведенных уравнений, переписав его в виде                            I₁ = I₁₃ - ,

где слева – ток нелинейного элемента I₁ = f₁(U), задан табл. 2.3, а справа – линейная зависимость от напряжения  U:     I₁₃ -  = 5 - .

Так как графический расчёт имеет значительную погрешность, выполним проверку решения по рис. 2.5,а: равно ли I₁ = I₁₃ - ?

1,6  (5 – ) = (5 – 3,393) = 1,607, где I₃ = 3,393 А.

Результат отличается в 4^м знаке, что указывает на достаточную точность решения.

На рис. 2.5,б показано определение тока I₂.

Ток генератора I = I₂ + I₁₃ = 2,7 + 5 = 7,7 А.

Мощность генератора  Р_Г = U×I = 47,5×7,7 = 365,8 Вт;

Сумма мощностей потребителей

SР_П = U×I₂ + I₃²×r₃ + U×I₁ = 47,5×2,7 + 3,393²×14 + 47,5×1,6 = 365,4 Вт.

Р_Г » SР_П – выполняется.

ЗАДАЧА2.4. Рассчитать токи, проверить баланс мощностей в схеме рис. 2.6, если U = 80 В, r₂ = 10 Ом, вольтамперные характеристики нелинейных резисторов заданы таблицами:

Таблица 2.5

Таблица 2.6

Решение

В системе координат U(I) рис. 2.7 строим вольтамперные характеристики параллельно включенных элементов  I₃(U₃)  и  U₂ = I₂×r₂,   а также вспомогательную характеристику

(I₂+ I₃)(U₂₃) = (I₁)(U₂₃), так как  I₁= (I₂+ I₃).

По второму закону Кирхгофа U₁+U₂₃= U    или U₂₃= U – U₁.

Строим вспомогательную характеристику  U – U₁ = U – f₁(I₁),

которую рассчитываем,задаваясь рядом значений тока I₁. Результаты расчёта сводим в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Точка А пересечения двух вспомогательных кривых опреде-ляяет решение задачи: I₁= 7,75 А, U₂₃= 30 В, I₂= 3 А, I₃= 4,75 А, U₁= 50 В.

Проверка баланса мощнос-тей:  Р_Г = U×I₁ = 80×7,75 = 625 Вт;

SР_П = U₁×I₁ + I₂²×r₂ + U₂₃×I₃ =

= 50×7,75+3²×10+30×4,75 = 620 Вт.

ЗАДАЧА 2.5. Две электри-ческие лампы накаливания с номинальным напряжением 127 В каждая и мощностью 40 и 70 Вт включены последовательно в сеть с напряжением   U = 240 В.  По предварительному расчёту (сопротивления ламп неизменны) напряжения на лампах U₁= 152,5 В, U₂ = 87,5 В.  В действительности вольтамперные характеристики ламп нелинейны и заданы табл. 2.8.

Таблица 2.8

Определить напряжения на лампах.

Ответ: U₁= 180 В, U₂= 60 В.

ЗАДАЧА 2.6. Внешняя характеристика генератора постоянного тока (рис.2.8) опреде-ляется данными табл. 2.9.

Таблица 2.9

Нелинейный элемент r₁(I₁) характеризуется вольтамперной характеристикой табл. 2.10.

Таблица 2.10

Сопротивление r₂ = 6 Ом.   Определить  токи  во всех ветвях схемы

рис. 2.8.

Ответы: I₁ = 86 А, I₂ = 24 А, I = 110 А.

ЗАДАЧА 2.7. На рис. 2.9,а изображена схема с тремя одинаковыми нелинейными элементами, вольтамперные характеристики которых заданы табл. 2.11. ЭДС источников напряжения Е₁ = 100 В, Е₂ = 10 В, Е₃ = 20 В. Определить токи во всех ветвях схемы, пренебрегая внутренними сопротивлениями источников.

Таблица 2.11

Решение

Так как все ветви схемы подключены параллельно к двум узлам схемы А и В, для решения задачи воспользуемся методом узлового напряжения, выбрав произвольные направления токов в ветвях и узлового напряжения U_АВ (указаны на схеме).

Для контуров, в каждый из которых входит U_АВ и одна из ветвей, в соответствии со вторым законом Кирхгофа получаются три уравнения:

U_АВ + U₁ = Е₁, U_АВ + U₂ = Е₂, U_АВ – U₃ = -Е₃.

Из этих уравнений выразим U_АВ:

U_АВ = Е₁ – U₁, U_АВ = Е₂ – U₂, U_АВ = -Е₃ + U₃.

На основании последних выражений удобно рассчитывается зависимость тока отдельной ветви от узлового напряжения в такой последовательности:

- задаёмся произвольным значением тока ветви в соответствии с вольтамперной характеристикой нелинейного элемента и определяем соответствующее этому значению напряжение нелинейного элемента;

- напряжение U_АВ, при котором в ветви будет выбранное значение тока,

рассчитываем по соответствующему уравнению второго закона Кирхгофа.

Рассчитанные зависимости   I₁(U_АВ),   I₂(U_АВ),  I₃(U_АВ)   приведены на рис. 2.9,б.

По первому закону Кирхгофа можно записать уравнение    I₁ + I₂ = I₃, которое для рассматриваемой схемы должно выполняться при одном значении U_АВ. Построим вспомогательную кривую (I₁+I₂)(U_АВ) и найдём точку  F  пересечения этой кривой с зависимостью  I₃(U_АВ).

Точка F определяет решение задачи:

U_АВ = 18 В, I₁ = 58 мА, I₂ = -15 мА, I₃ = 43 мА,

напряжения на элементах U₁= 82 В, U₂= -8 В, U₃= 38 В.   

Алгебраическая сумма мощностей генераторов

SР_Г = Е₁×I₁ + Е₂×I₂ + Е₃×I₃ = 100×58+10×(-15)+20×43 = 6510 мВт;

Сумма мощностей потребителей энергии

SР_П = U₁×I₁ + U₂×I₂ + U₃×I₃ = 82×58 + (-8)×(-15) + 38×43 = 6510 мВт.

Баланс мощностей выполняется.

ЗАДАЧА 2.8. В схеме рис. 2.10 определить токи ветвей и проверить баланс мощностей, если Е₁ = 120 В, Е₃ = 20 В, r₃ = 2 кОм, вольтамперная характеристика одинаковых нелинейных сопротивлений (НС) представлена в табл. 2.12.  

Таблица 2.12

Ответы: I₁ = 58 мА, I₂ = -35 мА,

I₃ = 23 мА, SР = 7420 мВт.

ЗАДАЧА 2.9. Вольтамперные характерис-тики нелинейных элементов r₁(I₁) и r₂(I₂), вклю-ченных в цепь рис. 2.11, приведены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Найти токи, проверить баланс мощностей, если Е₁ = 70 В, J = 1,5 А.

Ответы: I₁ = 0,9 А, I₂ = 2,4 А, U_АВ = 38 В, SР = 120 Вт.

ЗАДАЧА 2.10. На рис. 2.12,а изображена схема с нелинейным элементом (НЭ), вольтамперная характеристика которого задана табл. 2.14.

Таблица 2.14

Параметры линейных элементов r₁= r₂= r₃= 10 Ом, Е₅ = 50 В, J_k = 5 А.  

Определить токи во всех ветвях схемы и проверить баланс мощностей.

Решение

Сначала рассчитаем ток I₄ нелинейного элемента, заменив линейную часть схемы по отношению к зажимам нелинейного элемента (1-2) эквивалентным генератором.

При этом U_Х = Е_Э = I_3Х×r₃ + I_1Х×r₁, где токи с индексом _Х (холостой ход) – это токи элементов схемы, которые получаются после размыкания ветви с нелинейным элементом. В полученной таким образом более простой схеме I_1Х = J_k = 5 А, а по методу контурных токов

I_3Х = = = 5 А,

и  U_Х = 5×10 + 5×10 = 100 В.

r_Э = r_14ВХ = r₁ +  = 10 + = 15 Ом.

Для эквивалентной схемы (рис. 2.12,б), с одной стороны, U₄(I₄) – ВАХ НЭ, а с другой стороны, U₄ = Е_Э – I₄×r_Э  – ВАХ активного двухполюсника.

Решение системы двух последних уравнений представлено на рис. 2.12,в, откуда  U₄ = 40 В, I₄= 4 А.

Возвращаемся к исходной схеме рис. 2.12,а и рассчитываем остальные токи: I₁= J_k - I₄= 5 – 4 = 1 А,

I₃= = = 3 А,

I₅= I₃ + I₄= 3 + 4 = 7 А,

I₂= I₁ – I₃= 1 - 3 = -2 А,

напряжение на зажимах источника тока

U_k = I₂×r₂ + I₁×r₁ = -2×10 +1×10 = -10 В.

Проверка баланса мощностей:

SР_Г = U_k×J_k + Е₅×I₅ = -10×5+50×7 = 300 Вт;

SР_П = I₁²×r₁ + I₂²×r₂ + I₃²×r₃ + U₄×I₄ =

= 1²×10 + 2²×10 + 3²×10 + 40×4 = 300 Вт.

ЗАДАЧА 2.11. В схеме рис. 2.13 рассчитать все токи, если Е₁ = 4 В,

Е₂ = 16 В,   r₁ = r₂ = r₃ = 2 Ом,   r₄ = 4 Ом, вольтамперная характеристика НЭ представлена табл. 2.15.

Таблица 2.15

Ответы: I₁ = I₃ = -1,56 А, I₂ = 2,88 А, I₄ = I_НЭ = -1,31 А.

I₂ = 0,29 А, I₃ = 0,2 А, I₅ = -0,09 А,

SР= 204 Вт.

ЗАДАЧА 2.13. Определить токи, про-верить баланс мощностей, если Е₁ = 160 В, Е₅ = 180 В, сопротивления схемы рис. 2.15 r₂ = r₃= r₄ = 10 Ом, r₅= 30 Ом, r₁= 40 Ом, вольтамперная характеристика нелинейного элемента в табл. 2.16.

Таблица 2.16

Ответы: I₁ = 4 А, I₂ = -1 А, I₃ = 1 А,

I₄ = -2 А, I₅ = 5 А, I₆ = -3 А,

U₆ = -29,8 В, SР = 1540 Вт. 

ЗАДАЧА 2.14.  Определить  токи в схеме рис. 2.16, проверить баланс мощностей, если

J = 0,4 А,   r₁= 4 Ом,   r₂= 6 Ом,   r₃= 24 Ом,

r₄= 16 Ом,  ВАХ U(I) приведена в табл. 2.17.

Таблица 2.17

Ответы: U = 0,37 В,   I = 34 мА,  I₁ = 20,3 мА,

I₂ =197 мА, I₃ =169 мА, I₄ = 231 мА,  SР =1948мВт.

Решение

Определим дифференциальные сопротивления стабилитрона:

на участке ОА  r_д1= = = 2,5 Ом;

на участке ОВ  r_д2=¥;

на участке ВС  r_д3= = 0,5 Ом.

В рассматриваемой схеме напряжение на стабилитроне отрицательное и, если это напряжение меньше 10 В, ток стабилитрона I = 0. Тогда

I₁ = I₂ = , U = -U₂ = - ×r₂< -10 В = U₀,

откуда находим минимальное напряжение сети, при котором схема работает как стабилизатор напряжения:

U_1min = -U₀× = -10× = 15 В.

Так как заданное напряжение U₁ = 24 В > U_1min, то стабилитрон в схеме работает на участке ВС, его схемой замещения является цепочка рис. 2.18,а, а расчётная схема установки приведена на рис. 2.18,б. По методу узлового напряжения

U₂= = = 10,42 В.

I₁ = = = 1,358 А,

I₂ = = = 0,521 А,

I_ст = = = 0,84 А.

Пассивная схема стабилизатора рис. 2.17,а для приращений представлена на рис. 2.19, рассчитывая которую, получаем

DU₂ = =DU₁× =

=DU₁× =DU₁×0,0465.

Коэффициент стабилизации стабилизатора напряжения

k_ст = = = 9,34.

ЗАДАЧА 2.16. В четыре плеча моста, служащего стабилизатором напряжения (рис. 2.20), включены два НЭ1 и два НЭ2 так, что противоположные плечи моста одинаковы. Вольтамперные характеристики НЭ1 и НЭ2 могут быть аппроксимированы выражениями:

U₁(I₁) =400×I₁ – 164, U₂(I₂) =400×I₂ + 120,

где U[В], I[мА].

Найти: 1) ток I₀ в диагонали моста при сопротивлении нагрузки r₀ = 285 Ом  и напря-жении питания U = 140 В;

2) КПД моста (отношение мощности в диагонали моста к мощности источника) при U = 140 В;

3) положение рабочих точек на характеристиках при отклонении напряжения сети на DU = ±5%U (см. задачу 2.15);

4) коэффициент стабилизации стабили-затора напряжения (см. задачу 2.15).

Примечание: при решении по п.3 и п.4 рекомендуется воспользоваться схемой замещения стабилизатора для отклонений.

Ответы: I₀ = 414 мА, h = 76%, k_ст = ¥. 

ЗАДАЧА2.17. В цепи рис. 2.21 кроме линейных сопротивлений

r₁= 2 Ом,   r₃= 1 Ом,  r₅= 2 Ом

имеются ещё два одинаковых нелинейных резистора с заданной вольтамперной характеристикой (табл. 2.18).

Таблица 2.18

ЭДС источников Е₁ = 5 В, Е₄ = 3 В. Найти токи во всех ветвях схемы.

Примечание: при решении задачи графическим методом рекомендуется одно из параллельных включений сначала заменить эквивалентной ветвью, а затем воспользоваться методом двух узлов.  

Ответы: I₁ = 1,3 А, I₂ = 0,7 А, I₃ = 0,6 А, I₄ = 0,3 А, I₅ = 0,9 А.

МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Отличительной чертой расчётов нелинейных магнитных цепей по сравнению с нелинейными электрическими является то, что в исходной задаче расчёта нет необходимых для расчёта веберамперных характеристик участков магнитной цепи.

Магнитная индукция участка B = ,

где Ф[Вб] – магнитный поток, В[Тл].

Магнитное напряжение на участке U_мАВ = H×l = Ф×R_м,

где H[А/м] – напряжённость магнитного поля участка,

R_м =  [1/Гн] – магнитное сопротивление участка, соответствую-щее статическому сопротивлению нелинейного резистора в электрической цепи,

m₀ = 4p×10 ^-7 Гн/м – магнитная постоянная,

m – относительная магнитная проницаемость материала участка, нелинейно зависящая от магнитной индукции.

При постоянных потоках зависимость между В и H задаётся кривой намагничивания (рис. 2.22,б) материала сердечника, хотя часто выражается формулой   В = mm₀×H.

Для воздушных зазоров  m = 1  и В_В = m₀×H.

Обычно расчёт веберамперной характеристики ведут в следующей последовательности:

1) задают произвольное значение В,

2) рассчитывают соответствующее значение потока Ф = В×S,

3) определяется по кривой намагничивания соответствующее принятому В значение H (рис. 2.22,б),

4) находят U_м = H×l.

Примечание: при наличии воздушного зазора на участке пользуются следующей приближённой формулой:

Н_В = = 0,8×10⁶×В_В,

где    H_В[А/м], В_В[Тл=Вб/м²].

Тогда U_мАВ = H×l + H_В×l_В.

Расчёты повторяют для диапазона изменений индукции от нуля до 1,5¸1,7 Тл, сводят их в таблицы и строят веберамперные характеристики (рис. 2.22,в), где 1– ВбАХ при отсутствии воздушного зазора на участке,

2– ВбАХ при наличии воздушного зазора.

В дальнейшем методика расчёта магнитных цепей совпадает с методикой расчёта нелинейных электрических цепей и для наглядности расчётов можно составлять эквивалентную расчётную схему – аналог электрической цепи.

ЗАДАЧА 2.18. На рис. 2.23,а представлен дроссель, являющийся катушкой с числом витков W = 500, намотанной на сердечник из электротехнической стали 1512, кривая намагничивания которой приведена в табл. 2.19.  Длина средней линии магнитопровода l = 100 см, сечение стали S = 16 см². Воздушный зазор отсутствует  l_В = 0.  Рассчитать и построить веберамперную характеристику катушки.

Таблица 2.19