Метод Гаусса (схема единственного деления)

Алгоритм метода состоит из двух этапов. Первый этап называется прямым ходом метода и заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений, т.е. в приведении матрицы А к верхнему треугольному виду (ниже главной диагонали все нули). Для этого на первом шаге разделим первое уравнение системы на а₁₁ (предположим, что коэффициент а₁₁ ¹ 0, в противном случае осуществляем перестановку уравнений системы). Обозначим коэффициенты полученного приведенного уравнения , домножим его на коэффициент а₂₁ и вычтем из второго уравнения системы, исключая тем самым х₁ из второго уравнения (обнуляя коэффициент а₁₂ матрицы). Поступим аналогично с остальными уравнениями и получим новую систему, матрица которой в первом столбце, кроме первого элемента, содержит только нули, т.е.

.

Первое уравнение в дальнейших преобразования не участвует. Описанный выше процесс исключения неизвестных применим к матрице  размерами (n-1) n. После k аналогичных шагов получим k приведенных уравнений с коэффициентами

и матрицу  размерами (n - k) (n - k+1), элементы которой вычисляются по формулам

.

Элементы , на которые осуществляется деление, называются ведущими элементами метода Гаусса и не должны равняться нулю. Прямой ход метода Гаусса заканчивается после n шагов определением .

Обратный ход метода Гаусса заключается в последовательном определении компонент решения, начиная с х_n и заканчивая х₁, по следующим формулам:

2.4 Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (2)

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n;

Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов а_ij.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆= a₂₁ a₂₂ … a_2n

…………………………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А_ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на А_1i, второе – на А_2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А_ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, x₂, …, x_n, получим

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n =

= b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni. (3)

Коэффициент при неизвестной х_i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_ni заменены свободными членами b₁, b₂, …, b_n уравнения (2). Следовательно, выражение b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆x_i, будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆x_i = a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n. (3)

………………………………

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn