Полярная система координат.

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=√ (x²)+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

Полярными координатами произвольной точки P (относительно заданной системы) называются числа p=OP и O=уголАОР (см. рис.). Угол О при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Числор называется первой координатой, или полярным углом точки Р ( называются также амплитудой).Полярный угол О имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

Понятие вектора.Линейные операции над векторами.

Вектор - направленный отрезок.

Действия:

1)Суммой векторов aи bназ-сявектор,кот.расположен от начала а в конец b.

Свойства сложения:

1. a + b = b + a.2. (a+b)+c=a+(b+c). 3Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а. 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/такой, что а+а^/=О.

2)Разность a-b,это такой третий вектор a-b, который представляет сумму a и вектор противоположного b.(a+(-b))

3)Произведением вектора а на скаляр (число) λ называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0.

Свойства умножения вектора на число:

1. k(a + b) = ka + kb.

2. (k + m)a = ka + ma.

3. k(ma) = (km)a.

4.1*а=а

Скалярное произведение и его св-ва.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosφ .

Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b

Свойства:

ab = 0 a b..

ab = ba .

(ka)b = k(ab).                                                

(a + b)c = ac + bc .

a2 = aa = |a|2 , где а2 называется скалярным квадратом вектора а.

если ab>0=>угол остр.

если ab<0=>угол тупой

Векторное произведение и его св-ва

Векторным произведениемвекторов a и bна-ся вектор c, удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где ϕ - угол между векторами a и b,

2) вектор c ортогонален векторам aиb