Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Явный вид элементов тензора гравитационного поля Земли и его выражение в различных системах координат
Запишем потенциал гравитационного поля Земли в следующем виде (5.29) где в (5.29) приняты следующие обозначения: m= fM, r0, – средний экваториальный радиус Земли, r, q = 90–j, l – геоцентрические, сферические координаты текущей точки, Plm(cosq) – полностью нормированные присоединенные функции Лежандра, –также полностью нормированные коэффициенты гравитационного поля Земли. Дифференцируя выражения (5.29) в сферической системе координат (r, q, l) легко получить первые производные от возмущающего потенциала R: , (5.30) , (5.31) . (5.32) Все три производные первого порядка (5.30)–(5.32) имеют те же обозначения, что и выражение (5.29). В выражении (5.31) введено обозначение , где x=сos и при дифференцировании Р, как сложной функции, имеем . Вторые производные будут иметь следующий вид: , , , ,
. (5.33) Кроме того, приведем уравнение Лежандра, связывающее присоединенные функции Лежандра и их первые и вторые производные по x. Имеем . (5.34) а). Выражения тензора геопотенциала в локальной системе координат Введем локальную систему координат начало которой совместим с пробной массой m,имеющей координаты (r, q, l), а ось mx направим по касательной к меридиану из точки m в сторону северного полюса, ось my направим перпендикулярно оси m по касательной к параллели из точки m в сторону Востока, ось mz, дополняя систему до правой, будет направлена в сторону центра масс Земли. В этой системе координат вторые производные будут иметь вид:
Выражения вторых производных геопотенциала в локальной системе координат (5.35) являются элементами тензора потенциала притяжения U в локальной системе координат. b).Связь тензоров, выраженных в инструментальной и локальной системах координат Преобразование элементов любого тензора геопотенциала Т(U) от системы 2 к системе 1 выполняют по известной формуле , (5.36) где П21 есть матрица преобразования системы 2 в систему 1. Введем инструментальную систему, связанную с бортовым градиентометром. Будем полагать, что положение пробных масс с необходимой точностью известно по отношению к центру масс спутника. Поэтому начало инструментальной системы совместим с центром масс спутника m. Ось mxi совместим с вектором скорости спутника , myi совместим с вектором интеграла площадей (вектор момента количества движения или, по другой терминологии ,вектор момента скорости), направив его в противоположную сторону вектору , третья ось mzi, дополняя систему до правой, будет совпадать с вектором, который образуют векторным произведением , где . Используя свойство скалярного произведения, найдём углы между соответствующими осями локальной и инструментальной системами координат. Угол между осями mxi и myi определяется углом между плоскостью орбиты и плоскостью меридиана, а он находится из скалярного произведения нормалей к этим плоскостям , (5.37) где – нормаль к орбите и на основании (1) и (3) имеет вид , а , являющейся нормалью к меридиану, выражается формулой . Из скалярного произведения векторов и находим . Угол между осями и является углом между плоскостями орбиты и параллели, а нормаль к параллели (или касательная к меридиану) имеет вид , а вектор представлен выше. Из скалярного произведения векторов и имеем (5.38) откуда, аналогично предыдущему, получим . Угол между осями и – это угол между радиус–вектором и вектором . Угол также находится из скалярного произведения этих векторов аналогично предыдущему . (5.39) Выражение (5.39), выраженное через элементы орбиты, имеет громоздкий вид, поэтому его проще получать по формуле (5.39) в численном виде или получать явную формулу в программной среде МаthCAD или MathLab. Совмещение осей инерциальной системы и локальной проводят в следующем порядке: 1. Вращая по часовой стрелке на угол b вокруг оси mzl, совмещают ось myi с осью myl при помощи матрицы вращения вида ; (5.40) 2. Осуществляя поворот на угол g вокруг ранее совмещенных myli, совмещают mzi с mzl матрицей вида ; (5.41) 3. Поворотом вокруг оси mz по часовой стрелке на угол 360 – a, совмещают оси mxi и myi при помощи матрицы вращения . (5.42) Преобразование тензора будет иметь вид , (5.43) где даются формулами (5.40)–(5.42).Получить матрицу Пil в виде замкнутой формулы возможно в программной среде MathCad или MathLab, но такое выражение не имеет практической ценности в виду его громоздкости. Весьма просто такие операции реализуются в численном виде в вышеуказанных вычислительных средах. Обратные зависимости получают из выражения . (5.44) Таким образом, преобразования элементов матрицы из локальной системы в инструментальную и обратно даются формулами (5.41)–(5.44).
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 639. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |