Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Неопределенные арифметические выражения
В предыдущем разделе мы установили пределы последовательностей, которые определялись арифметическими выражениями (1.10) и, в предположении, что последовательности и стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, xn и предел не должны были равняться нулю). Остановимся теперь на случаях, когда пределы последовательностей и будут (один или оба) бесконечными или – если речь идет о частном – когда предел знаменателя будет нулем. Начнем рассмотрение именно с частного: 1) Если имеет конечный предел, а стремится к ∞, то стремится к нулю. В самом деле, ; так как второй множитель есть бесконечно малая (как обратная бесконечно большой), то, по теореме 2 (п.5.3), и есть также бесконечно малая. 2) Если имеет предел, конечный или нет, а xn ® 0, то ∞. Имеем . К последовательности применима теорема 3 о пределе частного – она стремится к нулю. Следовательно, последовательность (как обратная бесконечно малой) имеет пределом ∞. 3) Если yn→∞, а имеет конечный предел, то . Действительно, так как в силу 1) стремится к нулю, то . 4) Теперь переходим к случаю, когда обе последовательности и одновременно стремятся к нулю. В этом случае никакого общего заключения о пределе последовательности мы сделать не можем. Этот предел, в зависимости от закона изменения обеих последовательностей, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Поясним это на примерах. Пусть , и ; обе последовательности стремятся к нулю. Их отношение также стремится к нулю. Если же, наоборот, положить , , то, хотя они по прежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение стремится к ∞! Взяв же любое отличное от нуля число l и построив две бесконечно малые и , видим, что отношение их имеет пределом l (так как тождественно равно l). Наконец, если , (обе имеют пределом нуль), то отношение оказывается вовсе не имеющим предела. Таким образом, одно знание пределов последовательностей и в данном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения, - необходимо знать также закон их изменения. Для того, чтобы характеризовать эту особенность случая, когда yn ® 0 и xn ® 0, говорят, что выражение представляет неопределенность – вида . 5) В случае, когда одновременно yn ® ∞ и xn ® ∞, имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих последовательностей, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Проиллюстрируем это на примерах: yn = n ® ∞, xn = n2 ® ∞, = 0; yn = n2 ® ∞, xn = n ® ∞, = ∞; yn = l·n ® ∞ (l ¹ 0), xn = n ® ∞, ; yn = (-1)n·n ® ∞, xn = n ® ∞, вовсе не имеет предела. И в этом случае говорят, что выражение представляет неопределенность – вида . Обратимся к рассмотрению произведения : 6) Если имеет предел, конечный или нет, но не равный нулю, а xn® ∞, то ® ∞. В самом деле, последовательность есть бесконечно малая (так как первый множитель имеет конечный предел, а второй стремится к нулю); отсюда и вытекает требуемое заключение. 7) Если уn® 0, в то время как xn® ∞, то исследуя поведение произведения мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 4) и 5). Об этом свидетельствуют примеры:
, вовсе не имеет предела. В связи с этим при и , говорят, что выражение представляет неопределенность вида 0·¥. Рассмотрим, наконец, алгебраическую сумму : 8) если ∞, а имеет конечный предел, то ∞. 9) Если и обе стремятся к +∞ (или обе к –∞), то к тому же пределу стремится и сумма . Доказательство 8) и 9) предлагаем провести самостоятельно. 10) Случай же, когда и стемятся к бесконечности разных знаков, снова оказывается особым: о сумме ничего определенного сказать нельзя, не зная самих последовательностей и . Примеры. – предела не имеет. Ввиду этого, при говорят, что выражение представляет неопределенность вида ∞ – ∞.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 376. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |