Стабильные и эффективные оптимальные решения на основе коалиционного равновесия

3.1. Классификация стабильных и эффективных решений
на основе коалиционного равновесия

Понятие коалиционного равновесия базируется на фундаментальном понятии V-решения, сформулированном в работе [39] (см. реферат данной работы в приложении работы1) при достаточно общем определении игры.

Определение 3.1 [39]. Игрой называется набор

                                       Г = {N, S, {X_K}, S(x^K), { }},                                   (3.1)

где N – произвольное множество объектов, S – произвольное множество исходов игры, где в частном случае исход – значение показателя, X_K – произвольное множество стратегий-решений коалиции KÌN, S(x^K)ÌS – множество возможных исходов, если коалиция K применяет стратегию-решение x^KÎX_K,  – транзитивное отношение предпочтений коалиции
K Ì N на S.

Определение 3.2 [39]. Пара (K, x^K), x^KÎX_K¹Æ называется угрозой против исхода sÎS, если s для всех Î S(x^K).

Определение 3.3 [39]. Пара (Q, x^Q), x^QÎX_Q ¹ Æ называется контругрозой на угрозу (K, x^K), если KÇQ¹ Æ и для некоторого ÎS(x^K) и всех ÎS(x^Q) имеет место .

Поясним определения 3.2 и 3.3. Пусть S = J(X) – множество достижимости значений функционалов – показателей эффективности игры на множестве решений X, где x = (x₁,…,x_N)ÎX, s = J(x)ÎS. Отношение предпочтений  принимает вид , где J_K – показатель коалиции KÌN. Подмножество S(x_K)ÌS состоит из величин J(x||x^K) при фиксированном решении x^KÎX_K коалиции K. Решение x^K коалиции K является угрозой относительно исхода игры s = J(x), если для любого = J( ||x^K)ÎS(x^K) имеет место J_K( ||x^K) > J_K(x).

В свою очередь, решение x^Q коалиции Q является контругрозой относительно угрозы x^K коалиции K, если KÇQ¹Æ, и для некоторого = J( ||x^K)ÎS(x^K) и всех = J( ||x^Q)ÎS(x^Q), J_Q( ||x^Q) > J_Q( ||x^K).

Определение 3.4 [39]. Угроза считается эффективной, если на нее нет контругрозы. Исход игры считается оптимальным, если против него нет эффективных угроз. Множество всех оптимальных исходов есть
V-решение.

В [39] утверждается, что «в настоящее время кроме V-решения нет другого столь же простого, удобного для уточнений, но более сильного универсального решения».

Существование V-решения связано с отсутствием «запрещенных ситуаций» в игре.

Определение 3.5 [39]. Игра называется игрой без запрещенных ситуаций, если для любой ее реализации (P,x(P))

                                        ,                                     (3.2)

где P – коалиционное разбиение, x(P) = (x^K)_KÎP – набор решений (ситуация).

Отсутствие запрещенных ситуаций означает, что игру можно разыграть без согласования действий непересекающихся коалиций, когда независимый выбор любой коалицией своих решений в рамках данной структуры P приводит к исходу игры. Классы бескоалиционных и коалиционных игр, это, в основном, игры без запрещенных ситуаций. При ограничении действия коалиции выбором компонент дележа лишь своих членов кооперативная игра также является игрой без запрещенных ситуаций.

Утверждение 3.1 [39]. Для любой игры без запрещенных ситуаций существует такая реализация игры (P, x(P)), что

                                              .                                          (3.3)

Э. Вилкас [39] отмечает, что в общем случае V-решение носит характер предрешения, когда понятие оптимальности может уточняться и дополнить предрешение. При этом под уточнением решения автор понимает определение решения более узкого, чем V-решение, путем наложения дополнительных условий на контругрозу и модификации угрозы.

Ограничимся в дальнейшем более узким классом коалиционных игр

                                        Г = {N, (X_K), (J_K)}, KÎРÌР,                                    (3.4)

где N – множество объектов;  – множество стратегий-решений коалиции KÌN; J_K = {J_i(x)}_iÎK – векторная функция эффективности коалиции K, xÎX_N (исходы игры Г).

Для произвольной коалиционной структуры P, x^P = {x^K}_KÎP, x^K ÎX_K.

Тогда уточнение понятия V-решения может быть сформировано в виде коалиционного равновесия.

Определение 3.6 [39]. Ситуация  называется коалиционным равновесием, если принадлежит V-решению и для любых KÎPÌP и x^KÎX_K:

либо  хотя бы для одного iÎK,

либо  для всех iÎK.

Таким образом, ситуация будет коалиционным равновесием, если ÎV и для любого KÎP стратегия  максимизирует по Парето вектор выигрышей  в X_K в том смысле, что если другая стратегия-решение дает больший выигрыш игроку iÎK , то одновременно она дает меньший выигрыш игроку jÎK .

Очевидно, что принадлежность  к V-решению означает «нежесткость» коалиционной структуры P, которая необходима, по меньшей мере, для образования контркоалиции при формировании контругрозы.

Поэтому коалиционное равновесие определяется тремя «дина­мическими» факторами: множеством коалиционных структур P, видом
V-решения и степенью «охвата» Парето-области коалиции.

Утверждение 3.2. В общем случае коалиционное равновесие реализуется на допустимом множестве коалиционных структур P (PÎP), которое определяется «начальным» P, набором возможных угроз KÏP и набором соответствующих контругроз (N\K)ÏP.

Наиболее общим коалиционным равновесием является сильное равновесие.

Определение 3.7 [39]. Коалиционное равновесие называется сильным (абсолютным) равновесием , если оно оптимально по Парето в  относительно , (iÎK) для всех K Ì N.

Против сильного равновесия, очевидно, нет угроз. Кроме того, оно является равновесием при любом P. Поэтому сильное равновесие является коалиционным равновесием при любом P.

Определение 3.8. Множество собственно коалиционных равновесий определяется множеством оптимальных исходов в V-решении (множеством неэффективных угроз) на допустимом множестве коалиционных структур P при локальной Парето оптимизации в рамках коалиции.

К собственно коалиционным равновесиям относится понятие угроз и контругроз (УКУ-решения), введенное Вайсбордом–Жуковским [32, 50] (см. также гл. 4).

Определение 3.9. При отсутствии угроз (частный случай V-решения) и фиксации коалиционной структуры P коалиционное равновесие  принимает вид векторного Нэш-равновесия (ВНР) , так как устойчивость данного равновесия определяется потерей эффективности при отклонении K-й коалиции от Парето-решения  относительно вектора , iÎK.

Определение 3.10. При отсутствии угрозы и фиксации коалиционной структуры в виде одной коалиции K = N коалиционное равновесие  принимает вид Парето-оптимального решения в задаче векторной оптимизации , .

«Сужение» множества решений может быть обеспечено тем или иным подходом Парето-оптимизации, например, W-оптимизацией на основе конусов доминирования [47, 428, 430]

                                                W = (x: BJ(x) ³ 0),                                             (3.5)

где B – матрица конуса доминирования W.

Этот подход Парето-оптимизации принят как основной в данной главе.

Определение 3.11. Подмножество  ВНР-решений называется W-равновесием , если матрицы B_K, KÎP многогранных конусов доминирования Парето-оптимизации коалиции K

не равны единичной матрице B_K ¹ E хотя бы частично.

Определение 3.12. При отсутствии угроз, фиксации коалиционной структуры P и полной свертке показателей коалиции

                                              (3.6)

коалиционное равновесие  приобретает смысл скалярного Нэш-равновесия.

Определение 3.13. При отсутствии угроз, фиксации набора коалиционных структур P (PÎP) и свертке показателей коалиции коалиционное равновесие принимает вид кооперативного решения Харшаньи–Скеруса на основе множества недоминируемых Нэш-равновесий на P [32].

Данная классификация не претендует на полноту и может быть продолжена. Но даже и в представленном виде она показывает, что понятие коалиционного равновесия является достаточно универсальным и включает, как частные случаи, поиск эффективных решений (Парето-оптимальных, W-оптимальных и т.д.) и стабильных решений (скалярных Нэш-решений, векторных Нэш-решений, W-равновесных и т.д.).