Выбор наиболее аппроксимируемой функции

Практическое занятие 4.

Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Условие: По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1. Исходные данные, тыс.руб. на человека

Расходы на продукты питания, y , тыс. руб.	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Доходы семьи, x , тыс. руб.	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Задание: исследовать функции

1) линейную у = а +bх + ε

2) полулогарифмическую у = а +b*lnх + ε

3) зависимость у = а +b√х + ε

4) степенную у = а * х^b * ε

Провести сравнительный анализ моделей и выбрать ту, которая наиболее хорошо аппроксимирует исходные данные.

Ход решения

1 Исследование линейной функции у = а + bх + ε

Для удобства дальнейших вычислений составляется таблица (ε=у_i-ŷ).

Таблица 2

№	у	х	х*у	х²	у²	ŷ_х	у- ŷ_х	(у- ŷ_х)²	А_i%
1	0,9	1,2
2	1,2	3,1
3	1,8	5,3
4	2,2	7,4
5	2,6	9,6
6	2,9	11,8
7	3,3	14,5
8	3,8	18,7
Итого
Среднее значение
σ
σ²

1.1 Рассчитываются параметры линейного уравнения парной регрессии по формулами:

;

1.2 Строится уравнение регрессии, делаются выводы об изменении расходов на питание (у) при изменении дохода семьи (х) на 1000 руб.

1.3 Определяется показатель тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции r _xy:

Делаются выводы о тесноте связи.

1.4 Определяется коэффициент детерминации r²_xy

D = r²_x * 100%

Делаются выводы о степени дисперсии результата(у расходов на продукты питания) под влиянием дисперсии фактора (х - доходов семьи).

1.5 Оценивается качество уравнения регрессии в целом с помощью F –критерия Фишера:

Табличное значение (k₁ =1, k₂ = n − 2 = 6, α = 0,05): (F табл= 5,99)

Делаются выводы о статистической значимости уравнения в целом.

1.6 Определяется средняя ошибка аппроксимации (с помощью столбца 10 таблицы 2);

Делаются выводы о качестве уравнения регрессии, т. е. о качестве подбора модели к исходным данным.

1.7 На одном графике изображаются исходные данные и линия регрессии.

2. Исследование полулогарифмической функции типа: у = а + b*lnх + ε

Для нахождения параметров регрессии делается замена: z = ln xи составляется вспомогательная таблица 3, (ε=у_i-ŷ)

№ у х z z*у z² у² ŷ_х ε ε² А_i%

1 0,9 1,2

2 1,2 3,1

3 1,8 5,3

4 2,2 7,4

5 2,6 9,6

6 2,9 11,8

7 3,3 14,5

8 3,8 18,7

Итого

Среднее значение - -

σ - - - - - - - -

σ² - - - - - - - -

2.1 Рассчитываются параметры линейного уравнения парной регрессии по формулами:

;

2.2 Строится уравнение регрессии ŷ_z = а + bz. Заполняются столбцы 8-11 таблицы 3.

Индекс корреляции p_xy находится по формуле

Делаются выводы о тесноте связи.

2.3 Определяется коэффициент детерминации r²_xy

D = r²_x * 100%

2.4 Оценивается качество уравнения регрессии в целом с помощью F –критерия Фишера:

Табличное значение (k₁ =1, k₂ = n − 2 = 6, α = 0,05): (F табл= 5,99)

Делаются выводы о статистической значимости уравнения в целом.

2.5 Определяется средняя ошибка аппроксимации

Делаются выводы о качестве уравнения регрессии, т. е. о качестве подбора модели к исходным данным.

2.6 На одном графике изображаются исходные данные и линия регрессии.

3. Исследование функции с квадратным корнем типа: ŷ_х= a + b √ x

Для нахождения параметров регрессии ŷ_х= a + b √ x делается замена z = √x и составляется вспомогательная таблица 4 (ε = y_i − ŷ).

Таблица 4

№ у х z z*у z² у² ŷ_х ε ε² А_i%

1 0,9 1,2

2 1,2 3,1

3 1,8 5,3

4 2,2 7,4

5 2,6 9,6

6 2,9 11,8

7 3,3 14,5

8 3,8 18,7

Итого

Среднее значение - -

σ - - - - - - - -

σ² - - - - - - - -

3.1 Рассчитываются параметры линейного уравнения парной регрессии по формулами:

;

3.2 Строится уравнение регрессии ŷ_z = а + bz. Заполняются столбцы 8-11 таблицы 4.

3.3 Индекс корреляции p_xy находится по формуле

Делаются выводы о тесноте связи.

3.4 Определяется индекс детерминации p²_xy

D = p²_x * 100%

3.5 Оценивается качество уравнения регрессии в целом с помощью F –критерия Фишера:

Табличное значение (k₁ =1, k₂ = n − 2 = 6, α = 0,05): (F табл= 5,99)

Делаются выводы о статистической значимости уравнения в целом.

3.6 Определяется средняя ошибка аппроксимации

Делаются выводы о качестве уравнения регрессии, т. е. о качестве подбора модели к исходным данным.

3.7 На одном графике изображаются исходные данные и линия регрессии.

4. Исследование степенной функции типа: ŷ = a * b^x

4.1 Для нахождения параметров регрессии ŷ = a * b^x *⋅ε необходимо провести ее линеаризацию: Y = A + b ⋅ X + Ε,

где Y = ln y, X = ln x, A = ln a, Ε = lnε .

Составляется вспомогательная таблица 5 для преобразованных данных:

Таблица 5

№ У Х Х*У Х² У² ŷ_х ε ε² А_i%

1

2

И т.д

8

Итого

Среднее значение

σ

σ²

4.2 Находится уравнение регрессии:

После потенцирования находится искомое уравнение регрессии. Заполняются столбцы 7–10 таблицы.

4.3 Индекс корреляции p_xy находится по формуле

Делаются выводы о тесноте связи.

4.4 Определяется индекс детерминации p²_xy

D = p²_x * 100%

4.5 Оценивается качество уравнения регрессии в целом с помощью F –критерия Фишера:

Табличное значение (k₁ =1, k₂ = n − 2 = 6, α = 0,05): (F табл= 5,99)

Делаются выводы о статистической значимости уравнения в целом.

4.6 Определяется средняя ошибка аппроксимации

Делаются выводы о качестве уравнения регрессии, т. е. о качестве подбора модели к исходным данным.

4.7 На одном графике изображаются исходные данные и линия регрессии.

Выбор наиболее аппроксимируемой функции

Сравниваются построенные модели по индексу детерминации и средней ошибке аппроксимации:

Таблица 6

Модель	Индекс (коэффициент) детерминации	Средняя ошибка аппроксимации
1) линейная у = а + bх + ε
2) полулогарифмическая у = а +b*lnх + ε
3) модель с квадратным корнем у = а +b√х + ε
4) степенная у = а * х^b * ε

Выводы.

Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 245.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...