Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.

х² + а = 0 – данное уравнение не имеет решений в R при а > 0, в частности неразрешимо уравнение х² + 1 = 0. Можно построить такое расширение поля R, в котором содержится хотя бы 1 элемент, удовлетворяющий уравнению х² + 1 = 0. Будем называть полем комплексных чисел любое поле С, для которого выполняются 3 условия: 1) поле С является расширением поля R. 2) некоторый элемент поля С удовлетворяет уравнению х² + 1 = 0, где 1 и 0 – нейтральные элементы поля относительно «×» и «+». 3) всякое подполе поля С, удовлетворяющее условиям 1 и 2, совпадает с полем С. Теорема (о вложении поля R в поле С): Поле R изоморфно полю С. Зададим отображение по правилу а ® (а, 0) и ("аÎR) (а, 0) = а. Обозначим i = (0, 1). i×i = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1 Þ i² = -1. Пару (a, b) можно представить в таком виде: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, 1)(b, 0) = a +bi, где а – действительная часть комплексного числа и обозначается ReZ, bi – мнимая часть: ImZ, b – коэффициент мнимой части. а + 0i – действительные числа, 0 + bi – чисто мнимые числа, a +bi – мнимые числа (b ¹ 0). Операции над КЧ: 1) a +bi = с +di Û a = c Ù b = d. 2) (a +bi) + (с +di) = (a + c) + (b + d)i. 3) (a +bi) - (с +di) = (a - c) + (b - d)i. 4) (a +bi)(с +di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. 5) (a +bi)/(с + di) = ((a +bi)(с - di))/(c² + d²) = ((ac + bd) + (bc - ad)i)/(c² + d²) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)i)/(c² + d²). Число a – bi называется сопряженным КЧ a + bi и обозначается`z. Свойства сопряженных чисел: 1) z +`z = 2a. 2) z×`z = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>. 3)`(z₁+z₂) =`z<sub>1</sub> +`z₂. 4)`(z<sub>1</sub>×z<sub>2</sub>) =`z₁ ×`z<sub>2</sub>. 5)`(z₁-z₂) =`z<sub>1</sub> -`z₂. 6)`(z<sub>1</sub>/z<sub>2</sub>) =`z₁ /`z₂. Число –z называется противоположным числу z: -z = -a – bi. Число 1/z называется обратным для z и обозначается z^-1. Каждому КЧ z поставим в соответствие точку М(a, b) на координатной плоскости.

Плоскость получила название комплексной плоскости, а оси – действительной и мнимой. Также геометрической формой КЧ служит радиус-вектор ОМ. Модулем КЧ z = a + bi называется арифметический квадратный корень Ö(а² + b²). |z| = |a + bi| = Ö(а² + b²) = r. Геометрически – это расстояние от т.О до т. М или полярный радиус. Аргументом КЧ z называется действительное число j такое, что: cosj = a/r = a/|z|, sinj = b/r = b/|z|, и обозначается argz. Теорема (о представлении КЧ z ¹ 0 в тригонометрической форме): Каждое КЧ z ¹ 0 можно представить в виде z = r(cosj + isinj), где r,jÎR, r > 0, j = argz. Выражение КЧ z в таком виде называется тригонометрической формой КЧ. Замечание: т.к. аргумент z определен с точностью до 2pk, то КЧ z можно представить в тригонометрической форме различными способами: z = r(cos(j +2pk) + isin(j + 2pk)). Наименьший по абсолютной величине аргумент называется главным аргументом. Теорема: пусть z₁ = r₁(cosj₁ + isinj₁), z₂ = r₂(cosj₂ + isinj₂), z₁ ¹ 0, z₂ ¹ 0. Тогда z₁z₂ = r₁r₂(cos(j₁ + j₂) + isin(j₁ + j₂), z₁/z₂ = r₁/r₂(cos(j₁ - j₂) + isin(j₁ - j₂). Из этой теоремы можно привести равенство: |z₁z₂| = |z₁||z₂| = r₁r₂, arg(z₁z₂) = argz₁ + argz₂ и |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| = r₁/r₂, arg(z₁/z₂) = argz₁ - argz₂. Степенью КЧ z называется: 1) zⁿ = z×z×…×z, nÎN, n > 1, 2) z⁰ = 1, z ¹ 0, 3) z¹ = z, 4) z^-n = (z^-1)ⁿ = (1/z)ⁿ, nÎN. Свойства степени: 1) (z₁z₂)ⁿ = z₁ⁿz₂ⁿ, 2) i^4q+r = i^r. Если n – простое число, то iⁿ = ±i. Теорема(о степени КЧ в тригонометрической форме): при возведении КЧ в степень модуль КЧ возводится в эту степень, аргумент КЧ умножается на показатель степени: zⁿ = |z|ⁿ(cosnj + isinnj) – это формула Муавра. Частный случай: (cosj + isinj)ⁿ = cosnj + isinnj, если модуль КЧ = 1. Д-во: по определению: 1) пусть n = 0, z⁰ = 1, |z|⁰(cos0 + isin0) = 1. 2) n = 1, z¹ = z, |z|¹(cosj + isinj) = z. 3) для д-ва истинности формулы Муавра для любого натурального числа n воспользуемся ММИ: 1) n = 1 (доказано), 2) пусть формула Муавра выполняется для r = k, т.е. z^k = |z|^k(coskj + isinkj) (*), и докажем для n = k + 1, т.е. нужно доказать, что выполняется: z^k+1 = |z|^k+1(cos(k+1)j + isin(k+1)j). Умножим обе части равенства (*) на z: z^kz = |z|^k(coskj + isinkj)|z|(cosj + isinj) = |z|^k+1(coskjcosj + coskjisinj + isinkjcosj - sinkjsinj) = |z|^k+1((coskjcosj - sinkjsinj)+(coskjsinj + sinkjcosj)i) = |z|^k+1(cos(k+1)j + isin(k+1)j). Значит, формула верна для любого nÎN. 4) Докажем для n < 0, nÎN: zⁿ = 1/z^-n = 1/(|z|^-n(cos(-n)j + isin(-n)j)) = (|z|ⁿ(cosnj + isinnj))/((cosnj + isinnj)(cosnj - isinnj)) = (|z|ⁿ(cosnj + isinnj))/((cosnj)² + (sinnj)²) = |z|ⁿ(cosnj + isinnj). Если |z| = 1, zⁿ = 1ⁿ(cosnj + isinnj) = cosnj + isinnj; (cosnj + isinnj)ⁿ = cosnj + isinnj. Эта теорема позволяет находить формулы для cos и sin кратного угла. Читд. КЧ u называется корнем n-ной степени из КЧ z, если uⁿ = z, nÎN, n³2. u = ⁿÖz. Теорема (о корне n-ной степени из КЧ): Корень n-ной (nÎN, n³2) степени из КЧ z ¹ 0 имеет ровно n значений. Если z задана в тригонометрической форме, то все значения корня n-ной степени из z будут числа: u_k = ⁿÖr ×(cos((j+2pk)/n) + isin((j+2pk)/n)), k = 0, …, n-1; uⁿ = z, nÎN, n³2, u = ⁿÖz. Из формулы извлечения корня следует: 1) т.к. модуль всех КЧ – есть число постоянное, то все корни u_k лежат на окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом ⁿÖr; 2) argu^k = (j+2pk)/n, k = 0, …, n-1; argu₁ = j/n, argu₂ = j/n + 2p/n. Аргумент всех u_k отличается на 2p/n, а т.к. этих аргументов ровно n, то все корни лежат в вершинах правильного n-угольника.

Следствие 1: пусть v – любое значение корня n-ной степени из z₁: vⁿ = z₁, v = ⁿÖz₁, z₁ ¹ 0. u₀, u₁, u₂, …, u_n-1 – все n значений (различных) из КЧ z₂, где z₂ ¹ 0. Тогда ⁿÖz₁z₂ = {vu₀, vu₁, vu₂, …, vu_n-1}. Следствие 2: если u₀, u₁, u₂, …, u_n-1 – все значения ⁿÖz, z ¹ 0, то`u<sub>0</sub>,`u₁,`u<sub>2</sub>, …,`u_n-1 – все значения ⁿÖ`z. Пусть n – любое натуральное число, отличное от 0. Корнем n-ной степени из 1 называется такое КЧ e_k, n-ная степень которого = 1: e_k = ⁿÖ1. Число e, являющееся значением корня n-ной степени из 1, называется первообразным корнем n-ной степени из 1, если степени его: e⁰ = 1; e¹ = e; …; e^n-1 – различны между собой, что означает, что они являются всеми значениями корня n-ной степени из 1.

1. Кольцо многочленов над полем. Приводимые и неприводимые над полем многочлены. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей(доказательство)

Мн-ны над полем образуют кольцо, поэтому для них выполняются все св-ва кольца. Пусть Р[x]- это кольцо мн-нов над полем Р, тогда для " f,j Î Р[x]выполняются следующие св-ва: 1)f Î Р[x]Ù c Î p Þ f ¶ c. 2) f ¶ j Ù j ¶ fÞ f = c×j , где с = const Î Р.

Д-во: f ¶ φ - φ ¶ f Þ f= φ×h; φ=f× g Þ f= f× gh Þ def hg=0® h и g – постоянные из поля Р ® f= φ×h, где h=const.

3) f ¶ φ - g¹0 Î Р[x] Þfg ¶ φg. 4) fg ¶ φg и g¹0 Î Р[x] Þf ¶ φ.

Теорема о делении с остатком: (" f,φ¹0 Î Р[x])($! g,r Î Р[x]) f=φg+r, r=0 Ú deg r < deg φ.

Следствие: в кольце многочленов над полем выполняется теорема о делении с остатком Þ кольцо многочленов над полем – это Евклидово кольцо, значит оно и является кольцом главных идеалов, а это означает, что в кольце многочленов над полем есть понятие НОД и НОК у многочленов.

Св-ва НОД: НОД многочленов f₁ и f₂ называется такой многочлен, который явл-ся их общим делителем и " другой общий делитель этих идеалов явл-ся его делителем.

1)если φ¶f ,то НОД(f,φ)= f. 2) если f=φg+r , то НОД(f,φ) = НОД(φ,r). На 1 и 2 св-вах основан алгоритм Евклида.

3) НОД(сf,g) = НОД(f,g), с = const, ¹0, Î Р. 4) НОД(fh,gh) = h×НОД(f,g). 5) НОД(f/h,g/h) = 1/h×НОД(f,g).

Опред-е: Ненулевой многочлен, старший коэффициент которого =1 называется унитарным (нормированным) многочленом.

Опред-е: Многочлены f₁ , f₂ , …, f_s Î Р[x] – взаимно просты, если их НОД ассоциирован с ненулевой константой из поля Р.

1⁰.Критерий взаимной простоты. Многочлены f и g вз.просты • когда $ -ют многочлены U и V Î Р[x]такие, что fU+gV=1.

необходимость: если f, g – вз.просты, то их НОД(f,g)~1 Þ $ U,V Î Р[x], 1= fU+gV.

достаточность: пусть имеются многочлены f и g, для которых выполняется: $ U,V Î Р[x],что fU+gV=1. Обозначим НОД(f,g)= D, тогда по св-ву отношения делимости (fU+gV) ¶ D Þ 1¶ D и D ¶1Þ D ~1.

2⁰. если 2 многочлена вз.просты с третьим, то их произведение вз.просто с этим многочленом: (f₁,g) ~1 - (f₂,g) ~1 Þ(f₁, f₂, g) ~1.

Д-во: из условия и 1⁰ Þ ($U₁,V₁,U₂,V₂ Î Р[x]) 1= f₁U₁+gV₁, 1= f₂U₂+gV₂. Перемножим: f₁U₁ f₂U₂+ f₁U₁ gV₂+ gV₁ f₂U₂+ gV₁ gV₂=1

f₁f₂(U₁U₂)+ g(f₁U₁ gV₂+ V₁ f₂U₂+ V₁ gV₂)=1 f₁f₂ U+ gV=1.

3⁰. Если произведение 2-х многочленов делится на 3-й, причем 1-ый сомножитель вз.прост с этим многочленом, то 2-й делится на этот многочлен. f₁f₂¶ g- (f₁ ,g) ~1 Þ f₂¶ g.

НОК. Общим кратным многочленом f₁ , …, f_s называется такой многочлен, который делится на "-й из данных многочленов.

НОК – такое их общее кратное, на которое делится "-е общее кратное этих многочленов.

1⁰. [f,g]=(f×g)/ (f,g). Обозначим (f,g)=D Þ f/D и g/D Þ (f=f₁×D; g=g₁×D)*, где (f₁, g₁) ~1 (в противном случае (f,g) ¹D).

Обозначим (f×g)/ (f,g)=h. h=f×(g/D)=(f× g₁×D)/D= f× g₁ Þ h¶f.

h=g×(f/D)=(g× f₁×D)/D= g× f₁ Þ h¶g. Þ h – общ. кратное f и g.

Пусть k – общее кратное многочленов f и g Þ k¶f и k¶g.

k¶f Þ k=fφ(**);k¶g Þ k= fφ¶g Þ f₁Dφ ¶ g₁D Þ f₁φ ¶ g₁ - (f₁, g₁) ~1 Þ (по 3⁰ св-ву) Þ φ ¶ g₁ Þ (φ= g₁t)(***).

h=(f×g)/ (f,g)= (f₁D× g₁D)/D = f₁g₁D из (**)k=fφ Þ(***)Þ fg₁t= f₁Dg₁t=ht Þ k¶h Þ h – НОК.

2⁰. [fu,gu]=u[f,g]. 3⁰. [f/u,g/u]=1/u[f,g].

Будем рассматривать многочлены над полем Р. Многочлены f Î Р[x]называют приводимым над полем Р, если $ такие многочлены f₁ и f₂ Î Р*[x], что f=f₁×f₂, где 1£deg f₁, deg f₂£deg f.

Многочлен f Î Р[x]неприводим, если он не явл-ся приводимым. Т.о. множ-во многочленов делится на 4 не пересекающихся класса: 1)нулевой мног-ен, 2)ненулевой константы (мног-ны 0 степени), 3)приводимые, 4)неприводимые.

Св-ва: 1⁰."p,fÎ Р[x] из того, что р – неприводим и р~1 Þ f –неприводим.

2⁰.Пусть р₁ и р₂ – неприводимые мног-ны из Р[x],тогда если р₁ ¶ р₂  Þ р₁ =ср₂ , где с =const ¹0Î Р, т.е. р₁ ~ р₂ .

Д-во: по условию р₁ ¶ р₂  Þ р₁ =р₂h. Предположим, что h – мног-н из Р[x] Þ $ deg h ³1; р₂ – неприводимый мног-н Þ deg р₂ >1; Þ р₁ – приводимый мног-н, а это противоречит условию Þ h = const Î Р. Допустим, что h=0 Þ р₁ =р₂h Þ р₁ =0, но р, по условию неприводим Þ р₁ ¹0 Þ получили противоречие Þ р₁ ~ р₂.

3⁰.Пусть р – неприводим, тогда (" f Î Р[x]) либо f ¶ р, либо   (f,р) ~1.

Д-во: может оказаться, что f ¶ р, тогда все доказано. Пусть теперь f не ¶ р. Обозначим НОД (f,р)= φ Þ р¶ φ, по условию р – неприводим Þ φ=const Þ φ~1 Þ НОД(f,р) ~1, т.е. f и p – вз.просты.

4⁰.Пусть р – неприводим, тогда для " мног-нов f₁ , …, f_s Î Р[x] из того что (f₁×f₂ ×…× f_s ) ¶ р Þ что f₁ ¶ р Ú f₂ ¶ р Ú … Ú f_s ¶ р.

Теорема: " мног-н положит-ой степени либо явл-ся неприводимым мног-ом, либо м.б. представлен в виде произведения ненулевой постоянной и неприводимых нормированных множителей, единственным образом с точностью до порядка следования сомножителей. - каноническое представление мног-на.

1. Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей. Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений. Методы решения.

Пусть имеется множество М={1, 2, …, n}. Биективное отображение М на себя называется подстановкой n-ной степени. Рассмотрим подстановку f на множестве S_n:

f= 1,  2, 3, …, n

   f(1) f(2) f(3)…f(n)

Рассмотрим пару чисел (i, k). Пара (i, k) образует инверсию (неправильную пару), если числа i – k и f(i) – f(k) имеют разные знаки. А если числа i – k и f(i) – f(k) имеют одинаковые знаки, то пара называется правильной. Подстановка f n-ной степени называется четной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной, если число инверсий нечетное.

Пусть нам дана матрица А:

       a₁₁ a₁₂ … a_1n

       a₂₁ a₂₂ … a_2n

       ……………….

       a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим всевозможные произведения элементов данной матрицы, взятых по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Эти произведение будут иметь вид: a_1i1 a_2i2…a_nin.. Этому элементу поставим в соответствии подстановку:

         1 2 … n

          i₁ i₂ … i_n

И обратно: любой подстановке j:

       1     2 …. n

       j(1) j(2) … j(n)

поставим в соответствие a_1j(1)a_2j(2)…a_nj(n). Т.о. мы установили отображение между множеством S_n и множеством, содержащим элементы вида: a_1i1 a_2i2…a_nin. Припишем каждому произведению знак его подстановки и получим число: signja_1j(1)a_2j(2)…a_nj(n). Определитель матрицы А называется число: |A|=S signja_1j(1)a_2j(2)…a_nj(n). Т.к. различных подстановок существует n!, то сумма содержит n! слагаемых.

При n=1: А=(a₁₁) Þ |a₁₁| = a₁₁

При n=2: А= a₁₁ a₁₂   Þ |A| = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

                    a₂₁ a₂₂

При n=3 – правило треугольника.

Мнемоническое правило…

Частные случаи расчета определителя n-ного порядка: 1) если определитель содержит нулевую строку или столбец, то он равен 0. 2) матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали нулевые. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. 3) определитель треугольной матрицы (элементы выше или ниже главной диагонали нулевые) равен произведению элементов главной диагонали. Основные свойства определителей: 1) определитель квадратной матрицы равен определителю транспонированной матрицы. 2) если все элементы некоторой строки (столбца) определителя =0, то определитель =0. 3) определитель матрицы, которая содержит 2 одинаковые строки, =0. 4) если все элементы одной строки матрицы определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число. Следствие 1: общий множитель всех элементов какой-нибудь строки можно выносить за знак определителя. Следствие 2: определитель матрицы, у которой какие-либо 2 строки пропорциональны, =0. 5) определитель, у которого каждый элемент некоторой строки является суммой 2 слагаемых, равен сумме 2 определителей, у первого из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а у второго – вторые слагаемые, а остальные строки у всех определителей одинаковые. Следствие 1: свойство справедливо для строки, каждый элемент которой представлен в виде конечного числа слагаемых. Следствие 2: определитель матрицы не изменяется, если к какой-нибудь строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. Следствие 3: если в определителе какая-нибудь строка – есть линейная комбинация других строк, то определитель =0. 6) от перестановки 2 строк матрицы определитель меняет свой знак, не изменяясь по абсолютной величине.

Минор (М_ik) – определитель матрицы, полученный из квадратной матрицы вычеркиванием i-той строки и k-того столбца. Произведение (-1)^i+kМ_ik называется алгебраическим дополнением элемента α_ik и обозначается А_ik. Теорема (об определителе матрицы, содержащей последнюю строку с одним ненулевым элементом): если равны 0 все элементы последней строки квадратной матрицы А за исключением быть может элемента α_mn, тогда определитель матрицы |А|= α_mnМ_mn.

Теорема (об определителе матрицы, содержащей строку с одним ненулевым элементом): если в какой-либо строке матрицы все элементы кроме быть может 1равны 0, то определитель этой матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Теорема (о разложении определителя по строке или столбцу): определитель квадратной матрицы А равен сумме произведений элементов какого-либо столбца на их алгебраическое дополнение: |А|=α_1kА_1k + … + α_nkА_nk (1), |А|=α_i1А_i1 + … + α_inА_in (2). Д-во: Каждому элементу i-той строки матрицы А в качестве слагаемых добавим (n-1) нолей так, чтобы в своих суммах: α_i1 стоял на 1 месте, α_i2 стоял на 2 месте, …, α_in стоял на n месте.

А = (α_i1 + 0+… +0+0 0+ α_i2+0+…+0 ….. 0+0+….+ α_in)

К полученной матрице применим свойство аддитивности определителя: