Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

,

где не все коэффициенты при членах второго порядка, , одновременно равны нулю. Если это условие не выполняется, то поверхность второго порядка вырождается в поверхность первого порядка, т.е. плоскость.

     Поверхность второго порядка можно записать, используя произведение матриц.

           Если данное уравнение поверхности не имеет решений в поле действительных чисел, то оно имеет решения в поле комплексных чисел и определяет так называемую мнимую поверхность. Может оказаться, что уравнение поверхности определяет так называемую вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей, прямую). Если же поверхность невырожденная, то преобразованием декартовой прямоугольной системы координат её уравнение может быть приведено к одному из указанных ниже видов.

Рис. 7 Двуполостный гиперболоид . Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида: .

Рис. 8 Однополостный гиперболоид . Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид .

Рис. 9 Конус . Каноническое уравнение конуса имеет вид .

Рис. 10 Эллиптический параболоид . Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид .

Рис. 11 Гиперболический параболоид . Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид .

7.1 Изобразите в пространстве следующие поверхности второго порядка:

a.  (каноническое уравнение) эллиптический цилиндр,

б.  (каноническое уравнение) гиперболический цилиндр,

с.   (каноническое уравнение) параболический цилиндр,

д. пара параллельных плоскостей,

е.    пара пересекающихся плоскостей.

Теоремао классификации поверхностей второго порядка. Все поверхности второго порядка исчерпываются

a. эллипсоидам,

б. гиперболоидами,

в. параболоидами,

г. конусами второго порядка,

д. цилиндрами второго порядка,

е. парами плоскостей.