Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Любая неубывающая последовательность, ограниченная сверху, - сходящаяся.

Любая невозрстающая последовательность, ограниченная снизу, - сходящаяся.

Док-во: (для неубывающей) Для Xn£Xn+1 для "n. Так как последовательность ограничена, то существует число А такое, что выполняется неравенство Xn£Адля "n. Рассмотрим множество Х, состоящее из элементов последовательности {Xn}. По условию это множество ограничено сверху и не пусто. Þ Множество Х имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через А и докажем, что А – предел {Xn}.

Так как А – точная верхняя грань множества Х, то для "e>0 найдется номер N такой, что XN >A - e. Так как последовательность {Xn} неубывающая, то при "n>Nимеем Xn>A - e. С другой стороны, Xn£A<A+e для "n. Т. о., при "n>N получаем неравенство A - e<Xn<A+e, т. е. |Xn – A|< eпри "n>N. Þ А – предел последовательности {Xn}.

ЗАМ: ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходящейся последовательности.

12. Число е.

ТЕОР2: Рассмотрим последовательность Xn=  и докажем, что эта последовательность сходящаяся и ее предел равен е.

Док-во: Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная сверху.

1) Докажем, что последовательность {Xn}возрастающая, т. е. для "n Xn<Xn+1.

(1+1/n)  разложим по формуле бинома Ньютона.

Xn = (1+1/n)  = 1+(n/1!) ·(1/n)+(n ·(n – 1)/2!) ·(1/n )+(n ·(n – 1) ·(n – 2)/3!) ·(1/n )+K+(n ·(n – 1) ·(n – 2)) ·K·(n – (n – 1))/n!) ·(1/n ) = 2+(1/2!) ·(1 – 1/n)+(1/3!) ·(1 – 1/n) ·(1 – 2/n)+K+(1/n!) ·(1 – 1/n) ·(1 – 2/n) ·K·(1 – (n – 1)/n)

Аналогично для Xn+1.Для любого 0<k<nвыполняется соотношение(1 – 1/k)<(1 – 1/(k+1)). ÞВвыражении для Xn+1каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в выражении дляXn. Þ Xn< Xn+1для любогоn. Þ {Xn}– возрастающая последовательность.

2) Докажем, что последовательность {Xn}– ограничена сверху. Рассмотрим выражение дляXn. Так как 1/k!<1/2 при k>2, то Xn<2+1/2!+1/3!+…+1/n!<1+1+1/2+1/4+1/8+…+1/2 =1+(1 – 1/2 )/(1 – 1/2) = 1+2(1 – 1/2 ) = 3 – 1/2 <3. ÞДля "n 2<Xn<3 и последовательность {Xn}ограничена сверху. По Т о мон огр последовательности она является сходящейся. Ее предел на бесконечности Эйлер обозначил через е.

ОПР1: Число е – иррациональное, это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными.

13. Теорема о вложенных промежутках.

ТЕОР1: Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

14. Понятие функции и способы ее задания.

ОПР1: Если для любого элемента хÎХ поставлен в соответствие по закону f единственный элемент уÎУ, то на множестве Х задана функция y=f (x), причем х – независимая переменная (аргумент), все значения х – область определения функции D (f); совокупность всех значений функции f (x) – область значений функции Е(f).

ОПР2: Функцию, D(f) и E(f) которой являются числовые множества, называют числовой функцией одной действительной переменной.

ОПР3: Графиком функции f(x) является множество точек плоскости, абсцисса которых равна аргументу, а ордината равна значению функции.

ОПР4: Графиком числовой функции f, заданной на числовом промежутке Х, называется множество G всех точек координатной плоскости, имеющих вид М(х; f(х)), где хÎХ, т.е. {(х; у): у=f(х); хÎХ}.

ОПР5: Функция задана аналитически, если закон, устанавливающий соответствие между множествами всех значений аргумента и функции, задается формулой.

Преимущества: сжатость, компактность задания, можно вычислить значение функции для любого значения аргумента из области определения, можно применить к данной функции аппарат мат анализа.

ОПР6: Табличный способ задания заключается в задании таблицы определенных значений аргумента и соответствующих им значений функции.

ОПР7: При графическом способе задания функции соответствие между аргументом и функцией задается посредствам графика.

Преимущества: наглядность, что делает его чрезвычайно полезным при изучении функции.

ОПР8: Пусть заданы две функции y = f(x) и z = F(y), при чем D(F)ÉE(f), тогда для любого хÎХ соответствует zÎZ, где z = F(y), y = f(x), значит z=F(f(x)). Эта функция, определяемая соответствием называется сложной функцией или суперпозицией функций f и F.

ОПР10: Всякая функция, которая задана явным образом с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций называется элементарной функцией. D(f) = R для основных элементарных функций, при которых данная функция имеет смысл; E(f) - тоже вещественные числа.

ОПР9: Классификация функций. Это основные элементарные функции.

1) Степенная: у = .

2) Показательная: у = .

3) Логарифмическая: у = x.

4) Тригонометрические.

5) Обратные тригонометрическим.

6) y = const.

1)Многочлены (полиномы): Р(Х)=А0+А1*Х+А2* + …+Аn*

2)Рациональные R(x) = , P(x) и Q(x) – многочлены.

3) Алгебраические, которые заданы с помощью суперпозиции рациональных функций, степенных с иррациональным показателем и арифметических действий.

4) Трансцендентные –элементарные функции, которые не являются алгебраическими. Все тригонометрические, обратные им, показательная, логарифмическая.

15. Предел функции в точке.

ОПР1: (Г) Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любой последовательности значений аргумента Х1, Х2,…, Хn,…, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции F(X1), F(X2),…,F(Xn),… сходится к числу B. ("{Xn}®A, XnÎX, Xn¹A):{F(Xn)}®B

ОПР2: (К) Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любого положительного числа e найдется отвечающее ему положительное число d, зависящее от e, такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию 0<|X – A|<d, справедливо неравенство |F(X) – B|<e.

("e>0)($ d=d(e)>0)( "xÎX:0<|x – A|<d):|F(x) – B|<e

ОПР3: (Г) Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любой последовательности значений аргумента {Хn}, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, больших (меньших) А, соответствующая последовательность значений функции F(Xn) сходится к числу B. ("{Xn}®A, XnÎX, Xn>A):{F(Xn)}®B

("{Xn}®A, XnÎX, Xn<A):{F(Xn)}®B

ОПР4: (К) Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х®А), если для любого положительного числа e найдется отвечающее ему положительное число d, зависящее от e, такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию А<X<А+d (А - d<X<А), справедливо неравенство |F(X) – B|<e.

("e>0)($ d=d(e)>0)( "xÎX:А<x<А+d):|F(x) – B|<e

("e>0)($ d=d(e)>0)( "xÎX:А - d<x<А):|F(x) – B|<e

ТЕОР1: Функция f(x) имеет предел в точке А тогда только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и оно равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Док-во: Пусть правый и левый пределы f(x) равны В. Тогда (по опр прав и лев предела) для ("e>0) ($d1>0 и d2>0) ("X) удовлетворяющих условию A-S1<X<A и A<X<A+S2, выполняется условие    |f(x)–B|<S. Возьмем d=min{d1,d2}. Тогда для "X, удовлетворяющих условию 0<|X – A|<S, будет выполняться неравенство |f(x) – B|<S. Þ lim f(x)=B в точке А.

ОПР5: (Г) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х®¥, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn} соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.

("{Xn}®A, XnÎX):{F(Xn)}®B

ОПР6: (К) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х®¥, если для любого положительного числа e найдется отвечающее ему положительное число d, зависящее от e, такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию |X|>d, справедливо неравенство |F(X) – B|<e. ("e>0)($ d=d(e)>0)( "xÎX:|x|>d):|F(x) – B|<e

ОПР7: (Г) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х®+¥ (при Х® - ¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn}, все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.

("{Xn} – б-б, XnÎX, Xn>0):{F(Xn)}®B

("{Xn} – б-б, XnÎX, Xn<0):{F(Xn)}®B

ОПР8: (К) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х®+¥ (при Х®- ¥), если для любого положительного числа e найдется отвечающее ему положительное число d, зависящее от e, такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию X>d (X<d), справедливо неравенство |F(X) – B|<e.

("e>0)($ d=d(e)>0)( "xÎX:x>d):|F(x) – B|<e

("e>0)($ d=d(e)>0)( "xÎX:x<d):|F(x) – B|<e

16. Теорема о пределах функции.

ТЕОР1: Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном множестве и имеют пределы в точке А, равные В и С. Тогда функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, В*С, В/С (при С¹0).

Док-во: Пусть {Xn} – произвольная, сходящаяся к А последовательность, все элементы которой отличны от А. Последовательности {f(Xn)} и {g(Xn)} сходятся к пределам В и С (опр. предела Ф. по Г). Тогда последовательности {f(Xn)+g(Xn)}, {f(Xn) – g(Xn)}, {f(Xn)·g(Xn)}, {f(Xn)/g(Xn)} сходятся к пределам В+С, В – С, В·С, В/С (С¹0). Þ Функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, В·С, В/С (С¹0).

ТЕОР2: Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки А, за исключением, быть может, самой точки А, и функции f(x) и h(x) имеют предел в точке А, равный В. Пусть, кроме того, выполняется неравенство f(x)£g(x) £h(x) для всех хÎХ. Тогда предел функции g(x) в точке А равен В.

Док-во: Пусть {Xn} – произвольная, сходящаяся к А последовательность значений аргумента функций f(x) и h(x), все элементы которой отличны от А. Последовательности {f(Xn)} и {h(Xn)} сходятся к пределу В. Используя неравенства f(x)£g(x) £h(x) для "nÎN. Но тогда последовательность {g(Xn)} сходятся к пределу В. Þ lim g(x)=B в точке А.

17. I замечательный предел.

ТЕОР1: Предел функции g(x) =  в точке х = 0 существует и равен 1, т.е. lim =1

 n®¥

Док-во: Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, радиальная мера которого равна Х (0<X<p/2). 

Тогда АО=1, sin X=MK, tg X=AT.

Площадь треугольника ОАМ меньше площади сектора ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или 1/2ОА·МК<1/2OA·AM<1/2OA·AT Þ     1/2sin X<1/2X<1/2tg X Þ sin X<X<tg X. Разделим эти неравенства на sin X>0, получим 1< < . Для обратных величин справедливы обратные неравенства cosX< <1.

Так как неравенства справедливы при 0<X<p/2 Þ они справедливы и при               -p/2<X<0, так как при замене Х на –Х все три функции cosX, (sin X)/X и 1 не меняют своих значений. Т. о. неравенства справедливы при всех ХÎ(-p/2, p/2), за исключением точки Х=0.

Так как обе функции f(x)=cosX и h(x)=1 имеют в точке Х=0 предел равный 1, то g(x)=  тоже имеет в точке Х=0 предел равный 1.

18. II замечательный предел.

ТЕОР1: Предел функции f(x) = при х®¥ существует и равен числу е, т.е. lim = e.

х®¥

Док-во: Пусть X>1.

Положим n=[x] (целая часть Х), тогда X=n+a, где n – натуральное число, а a удовлетворяет условию 0£a<1. Так как n£X<n+1, 1/(n+1)<1/X£1/n и 1+1/(n+1)<1+1/X£1+1/n, то (по свойству возрастания показательной Ф. с основанием, большим 1) < < . При Х®+¥  (n®¥) lim =lim ·lim =e·1=e и lim =[lim ]/[lim ]=e. Þ lim =e.

Пусть теперь X<-1, X= -Y.

Тогда lim =lim =lim =lim ·lim = e·1=e     

(при X® -¥, Y® +¥).

Окончательно имеем lim = e.

19. Бесконечно малые функции. Действия над ними.

ОПР1: Функция называется бесконечно малой  в точке х=А (или при х®А), если предел этой функции в точке А равен 0.

ОПР2: (К) Функция a(х) называется бесконечно малой в точке х=А (или при х®А), если для любого положительного числа e >0 существует d>0 такое, что для всех хÎХ, удовлетворяющих условию 0<|x – A|<d, выполняется неравенство |a(x)|<e.

("e>0)($d=d(e)>0)("xÎX,0<|x – A|<d):|a(x)|<e

ОПР3: (Г) Функция a(х) называется бесконечно малой в точке х=А (или при х®А), если для любой сходящейся к А последовательности {Xn} значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции {a(Xn)} является бесконечно малой. ("{Xn}®A, Xn¹A):{F(Xn)} – б-м

ТЕОР1: Для выполнения равенства limf(x)=b необходимо и достаточно, чтобы функция

 х®¥

a(х)=f(х) - bбыла бесконечно малой при х®a.

Док-во:Необходимость: пусть limf(x)=b. Рассмотрим разность a(х)=f(х) – b и докажем, что a(х) – бесконечно малая функция при х®a. Действительно lim a(х)=lim(f(х) – b)=limf(x) – lim b=b – b=0.

Достаточность: Пусть a(х)=f(х) – b, где a(х) – бесконечно малая функция при х®a. Докажем, что limf(x)=b. Так как f(x)=b+a(х), то limf(x)= lim(b+a(х))= lim b+ lim a(х) =b+0=b.

ТЕОР2: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при х®а, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную являются бесконечно малыми функциями при х®а.

Док-во: Вытекает из определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей.

20. Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

ОПР1: (К) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при х®А), если для любого положительного числа e >0 существует d>0 такое, что для всех хÎХ, удовлетворяющих условию 0<|x–A|<d, выполняется неравенство |А(x)|>e.

("e>0)($d=d(e)>0)("xÎX,0<|x – A|<d):|A(x)|>e

Точки устранимого разрыва.

Точки разрыва I рода.

Точки разрыва II рода.

ОПР3: Точка А – точка устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует, но функция в этой точке неопределена; либо предел функции в этой точке не равен значению функции в этой точке.

ОПР4: Точка А – точка разрыва I рода, если в этой точке функция имеет конечный правый предел, конечный левый предел, но они не равны между собой.

ОПР5: Точка А – точка разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из пределов (правого или левого) или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.  

25. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

ТЕОР1: Пусть функция f(x) задана на множестве Х непрерывна в точке Х0ÎХ и f(x)¹0. Тогда существует положительное число d такое, что для всех хÎ(Х0 - d, Х0+d)ÇХ функция имеет тот же знак, что и f(X0).

Док-во: Пусть f(X0)>0. Так как функция непрерывна, то для ("e>0) ($d>0) такое, что для            ("хÎХ: |X0-x|<d) выполняется неравенство |f(x) – f(X0)|<e. Последнее неравенство в виде                    f(X0) - e<f(x)<f(X0)+e, оно выполняется для "хÎ(Х0 - d, Х0 + d). Возьмем e=f(X0)>0, тогда для  "хÎ(Х0 - d, Х0 + d) f(x)>0.

Если f(X0)<0, то рассмотрим функцию –f(x). Тогда –f(X0)>0 и существует d - окрестность точки Х0, в которой –f(x)>0. Þ f(x)<0.

26. I теорема Больцано – Коши.

ТЕОР1: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [A, B] и на концах сегмента имеет значения разных знаков. Тогда существует точка СÎ(А, В) в которой f(C)=0.

Док-во: Пусть f(A)<0 и f(B)>0. Разделим сегмент [A, B] пополам. Если значение функции в середине сегмента равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов, на концах которого функция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B] É [A1, B1] É [A2, B2] É…É [An, Bn]… вложенных сегментов, причем Bn – An = (В – А)/ ®0 при n®¥ и на концах каждого сегмента [An, Bn] функция имеет значения разных знаков. Þ Существует точка С принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(C)=0.

ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает сегмент [An, Bn]. Þ На [An, Bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков (если f(C)<0 аналогично).

27. II теорема Больцано – Коши.

ТЕОР: Пусть функция f(x)непрерывна на сегменте[a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть далее С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [a, b] найдется точка X0 такая, что f(X0)=C.

Док-во: Пусть A<B и A<C<B. Рассмотрим функцию j(x) = f(x) – C. Эта функция непрерывна на   [a, b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков: j(a)=f(a) – C=A – C<0 и j(b)=f(b) – C=B – C>0. Тогда (по1 Т Б-К) существует точка Х0Î(a, b) такая, что j(Х0)=f(X0) – C=0Þ f(X0)=C.

28. I теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Док-во:ПП: пусть f(x) не ограничена на [a, b]. Разделим сегмент пополам, тогда, по крайней мере, на одном из сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент [a1, b1]. Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность [a, b] É [a1, b1] É [a2, b2] É…É [an, bn]… Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из них функция не ограничена (по предположению). По построению bn - an =(b – a)/ ®0 при n®¥. Тогда существует единственная точка С принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f(x) определена и непрерывна на [a, b]. Þ Она непрерывна в точке С, но тогда (лемма) существует окрестность точки С, в которой f(x) ограничена. При большом n в эту окрестность попадает сегмент [an, bn], на котором функция также ограничена. Противоречие. Þ Она ограничена на этом сегменте.

ЗАМ: теорема неверна, если сегмент заменить на интервал.

29. II теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x)непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т. е. существуют точки X1, X2Î[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(X2)=m=inf f(x) на сегменте  [a, b].

Док-во: Так как f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке (1 Т В). Þ Существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Докажем, что функция достигает М, т. е. существует точка Х1Î[a, b], что f(X1)=M. Тогда для "хÎ[a, b] выполняется неравенство f(x)<M. Построим вспомогательную функцию F(x)= >0 для "хÎ[a, b]. Функция F(x) непрерывна (как частное непрерывных функций). Но тогда (по 1 Т В) F(x) ограничена, т. е. найдется число m>0 такое, что "хÎ[a, b] £m или f(x)£M – 1/m.. Т. о. число М – 1/m является верхней гранью f(x) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, что М – точная верхняя грань f(x) на отрезке [a, b]. Þ Существует точка X1Î[a, b], в которой f(x)=M. (Нижняя грань аналогично)  

ЗАМ: после доказательства факта, что непрерывная на [a, b] функция достигает своих точной нижней и верхней граней, точную верхнюю грань принято называть максимальным значением, а точную нижнюю грань – минимальным значением. Теорема формулируется:

Непрерывная на [a, b] функция принимает на нем свое min и max значение.

30. Теорема о непрерывной сложной функции.

ТЕОР: Пусть функции Z=j(x) непрерывна в точке X0, а функция Y=f(z) непрерывна в точке Z0. Тогда сложная функция Y=f(j(x)) непрерывна в точке X0.

Док-во: Пусть Х1, Х2, Х3,…, Хn,… - " последовательность из множества Х, сходится к точке Х0. Тогда в силу непрерывности функции Z=j(x) в точке Х0 имеем lim Zn = lim j(Xn) = j(X0) = Z0 при n®¥, то есть соответствующая последовательность точек Z1, Z2, Z3,…, Zn,… сходится к точке Z0. В силу непрерывности функции f(z) в точке Z0 имеем lim f(Zn) = f(Z0), т. е. lim f[j(Xn)] = f[j(X0)]. Получаем, что предел функции f(j(x)) в точке Х0 равен значению функции в точке Х0. Þ Функция непрерывна.

31. Теорема о непрерывной обратной функции.

ТЕОР: Пусть функция Y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У – множество ее значений. Тогда на множестве У обратная функция X=j(y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.

ЗАМ: если обратная функция X=j(y)однозначна, то, очевидно, что f – обратная функция для функции j, говорят, что f и j– взаимообратные.

32. Понятие производной.

ОПР1:Приращением функции Y=f(x) в точке X0, отвечающим приращению аргумента DX, будем называть число DY=f(X0+DX) – f(X0).

ОПР2:Производной функции Y=f(x) в данной точке X0называется предел при DX®0 отношения приращения функции к приращению аргумента. При условии, что он существует – конечная производная. Если он равен бесконечности, то функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет конечную производную в каждой точке множества Х, то можно рассматривать производную как функцию определенную на множестве Х.

33. Геометрический смысл производной.

Пусть функция Y=f(x) определена на интервале (a, b) и пусть точка А на графике функции соответствует значению аргумента Х0, а точка В – значению (Х0+DХ). Проведем через А и В прямую и назовем ее секущей. Обозначим через j(DХ) угол между секущей и осью ОХ.

ОПР1: Если при DХ®0 существует lim j(DX)= j 0, то прямую с угловым коэффициентом К=tg j 0, проходящим через точку А(Х0, f(X0)), называют предельным положением секущей АВ при DХ®0 (или В®А).

ОПР2: Касательной S к графику функции Y=f(x) в точке А будем называть предельное положение секущей АВ при DХ®0 (или при В®А).

ТЕОР1: Если функция Y=f(x) имеет в точке Х0 производную, то существует касательная к графику Y=f(x) в точке М(X0, f(X0)), угловой коэффициент касательной K=tg j 0 = f ’(X0).

Док-во: Проведем прямую MN || OX, тогда PN || OY, MN=DX, PN=DY, ÐPMN=j Þ                              tg j(DX) = DY/DX = Þ        j(DX) =arctg DY/DX. Перейдем к пределу при DX®0. Так как существует производная f ’(X0), то существует и предел lim DY/DX=f ’(X0) и так как функция    arctg DY/DX непрерывна Þ существует предел правой части равенства:

lim arctg DY/DX= arctg (lim DY/DX)=arctg f ’(X0). Þ Существует предел и левой части равенства. Получаем lim j(DX) = arctg f ’(X0). Þ Существует предельное положение секущей РМ, т. е. существует касательная к графику функции Y=f(x) в точке       А(X0, f(X0)), причем угол наклона этой касательной к оси ОХ равен arctg f ’(X0) и, значит, угловой коэффициент касательной tg j 0= f ’(X0).

ОПР3: Составим уравнение касательной к графику функции Y=f(x) в точке A(X0, f(X0)). Уравнение прямой, проходящей через точку C(a, b) с угловым коэффициентом kимеет вид Y=b+k(x –a). Но в точке А значение функции равно f(X0), поэтому в уравнении а=Х0, b= f(X0), k= f ’(X0). Получаем уравнение касательной Y= f(X0)+ f ’(X0)(X - X0).

ОПР4:Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке.

34. Понятие дифференцируемости функции.

ОПР1: Функция Y=f(x) называется дифференцируемой в точке X0, если ее приращение DY в этой точке можно представить в виде DY=A·DX+a(DX)·DX, где А – некоторое число, не зависящее от DX, а a(DX) – функция аргумента DX, являющаяся бесконечно малой при  DX®0, т. е. lim a(DX)=0.

ТЕОР1: Для того, чтобы функция Y=f(x) была дифференцируема в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во:Необходимость: Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение представимо в виде DY=A·DX+a(DX)·DX. Поделим это равенство на DX, получим DY/DX=А+a(DX). Переходя к пределу при DX®0, имеем lim (DY/DX)=lim (А+a(DX))=A. Þ Производная в точке X0существует и f ’(X0)=А.

Достаточность: Пусть существует конечная производная f ’(X0), т. е. lim (DY/DX)= f ’(X0). Обозначим f ’(X0)=А, тогда функция a(DX)=DY/DX - А является бесконечно малой при DX®0. Из последнего равенства имеем DY=A·DX+a(DX) ·DX, где lim a(DX)=0. Получено представление DY=A·DX+a(DX)·DX. Þ ФункцияY=f(x) дифференцируема в точке X0.

35. Непрерывность и дифференцируемость функции.

ТЕОР2:Если функция Y=f(x) дифференцируема в данной точкеX0, то она и непрерывна в этой точке.

Док-во:Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точкеX0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде DY=A·DX+a(DX)·DX. Тогда, переходя к пределу при DX®0получаем limDY=A·limDX+lim a(DX)·limDX=0, что означает непрерывность функции Y=f(x) в точке X0согласно определению.

36. Понятие дифференциала. Геометрический смысл.

Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точкеX0, т. е. ее приращение DY в этой точке представимо в виде:DY=A·DX+a(DX)·DX, гдеlim a(DX)=0. Слагаемое A·DX является при  DX®0 бесконечно малой одного порядка с DX (при А¹0), оно линейно относительно DX. Слагаемое a(DX)при DX®0бесконечно малая более высокого порядка, чем DX, так как lim (a(DX) ·DX)/DX = lim a(DX)=0. Т. о. первое слагаемое является главной частью приращения функции.

ОПР1:Дифференциалом функции Y=f(x) в точке X0 называется главная, линейная относительно DX, часть приращения функции в этой точке. Обозначается dY= A·DX.

Если А=0, то A·DX не является главной частью приращения DY. Однако и в этом случае по определению дифференциал функции в точке X0равен A·DX, т. е. dY=0. Можно записать дифференциал в виде dY= f ’(X0) ·DX.

Дифференциалом независимой переменной называют приращение этой переменной dX=DX. Соотношение имеет вид dY= f ’(X0) ·dX. Можно вычислитьf ’(X0): f ’(X0)=dY/dX.

Пусть точка М на графике соответствует значению аргументаX0, а точка Р – значению аргументаХ0+DХ. Проведем касательную MS к графику в точке М. Обозначим через a угол, образованный касательной с осью ОХ. Пусть MN || OX, PN || OY и Q – точка пересечения касательной с PN. Тогда приращение функции равно величине отрезка PN. Из треугольника MQN имеем: QN= tg a·DX= f ’(X0) ·DX= dY Þ Дифференциал функции равен величине отрезка QN. Видно, что PN и QN различны. Т. о. дифференциал dY функции f(x) в точке X0равен приращению ординаты касательной MS к графику в точке М.

37. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.

ТЕОР1: Если функции u=U(x), v=V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: (u±v)’=u’±v’; (u·v)’=u’·v+v’·u; ’= .

Док-во:Воспользуемся определением производной, равенством f(x+DX)=f(x)+ DY и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного.

(u±v)’=lim [u(x+DX) ± v(x+DX)] – [u(x) ± v(x)] = lim u(x+DX) –u(x) ± v(x+DX) – v(x) =

DX                                         DX                        DX

= lim u(x+DX) –u(x) ± lim v(x+DX) – v(x) = lim (Du /DX) ± lim (Dv /DX) = u’ ± v’

DX                             DX

(u·v)’= lim u(x+DX) ·v(x+DX) – u(x) ·v(x) = lim (u(x)+ Du) · (v(x)+Dv) - u(x) ·v(x) =

DX                                                        DX

lim u(x) ·v(x) + Du ·v(x) + Dv ·u(x) + Du ·Dv - u(x) ·v(x) =lim [v(x) ·(Du /DX) +u(x) ·(Dv /DX) +Dv·(Du/DX)] 

DX

= v ·lim (Du /DX) + u ·lim (Dv /DX) + lim Dv · lim (Du/DX) = v · u’ + u · v’ + 0 · u’ = u’ · v+ u · v’

(u / v)’=lim [u(x) + Du] / [v(x)+Dv] – [u(x) / v(x)] =lim u(x+DX) · v(x) – u(x) · v(x+DX) =

DX                                               DX· v(x+DX) · v(x)

=lim [u(x)+ Du] ·v(x) – u(x) ·[v(x)+Dv] = lim u · v + Du · v – u · v – u · Dv =lim v ·(Du /DX) - u ·(Du /DX)

DX·[v(x)+Dv] · v(x)                          DX·[v + Dv] · v                               v · v + v ·Dv

= u’ · v – u · v’

v·v

Так как lim Dv =0(в силу дифференцируемости, а Þ и непрерывности v(x)), а множители uи v не зависят от Dv.

38. Производные элементарных функций.

ТЕОР1: Производная функции f(x)=C выражается формулой Y’=0.

Док-во: Для "х и DX имеем: Df = f (х +DX) – f(x) = C – C = 0. Отсюда Df /DХ = 0/DХ = 0при "DХ¹0. Þ Y’= lim Df /DX = 0.

ТЕОР2: Производная функции Y=X , где n - целое число, выражается формулой Y’=n ·X .

Док-во: Используя формулу бинома Ньютона , имеем

 DY= (X+DX)  - Х =( Х +n · X · DX +((n(n – 2))/2!) · X ·(DX) +K ·(DX) ) - X = n ·X · DX + +((n(n – 1))/2!) · X ·(DX) +K·(DX) . Т. о., при  DХ¹0

DY/DX = n · X +((n(n – 2))/2!) · X ·(DX) + K· (DX) . Так как lim DX=0, lim (DX) =0, то Y’= lim DY/DX = n · X .

ТЕОР3: Производная функции Y=sin X выражается формулой Y’=cos X.

Док-во: Имеем DY= sin(X+DX) – sinX = 2sin(DX/2) · cos(X+DX/2). Т. о., приDХ¹0

DY/DX = 2sin(DX/2) · cos(X+DX/2) = sin(DX/2) · cos(X+DX/2).

DX                        DX/2

Так как lim sin(DX/2) =1, а lim cos(X+DX/2) = cos X, то Y’= lim DY/DX =cos X.

DX/2

ТЕОР4: Производная функции Y=cos X выражается формулой Y’= -sin X.

Док-во: Имеем DY= cos(X+DX) – cos X = -2sin(DX/2) · sin(X+DX/2). Т. о., приDХ¹0

DY/DX = -2sin(DX/2) · sin(X+DX/2) = - sin(DX/2) · sin(X+DX/2).

DX                           DX/2

Так как lim sin(DX/2) =1, а lim  -sin(X+DX/2) = -sin X, то Y’= lim DY/DX =-sin X.

DX/2

ТЕОР5: Производная функции Y=tg X выражается формулой Y’=1/cos  X (X¹p/2+pn, nÎZ).

Док-во: Y’=(tg X)’=(sin X/cos X)’=(sinX)’ ·cosX – sinX· (cosX)’ = cos X + sin X = 1

cos X                           cos X     cos X

ТЕОР6:Производная функции Y=ctg X выражается формулой Y’= -1/sin  X (X¹pn, nÎZ).

Док-во: Y’=(ctg X)’=(cos X/sin X)’=(cosX)’ ·sinX – cosX· (sinX)’ = - (sin X + cos X) = -1

sin X                               sin X         sin X

ТЕОР7: Производная функции Y=log  X (0<a¹1) выражается формулой Y’=(1/X)·log e=1/(x·ln a).

Док-во:Имеем DY=log (X+DX) - log X = log ((X+DX)/X) = log (1+DX/X). Т. о., при DХ¹0

DY/DX = (1/DX) · log (1+DX/X) = (1/X) · (Х/DX) · log (1+DX/X) = (1/X) · log (1+DX/X) .

Полагая Х/DX=h, имеем: lim (1+DX/X) = lim (1+1/h) =e. Так как логарифмическая функция является непрерывной, то Y’=lim DY/DX =(1/X) · log [lim(1+DX/X) ]= (1/X) · log e = 1/(X·ln a).

СЛЕД: ЕслиY=log X =ln X, то Y’=(1/X).

39. Теорема о производной обратной функции.

ТЕОР1: Если функция Y=f(x)имеет в точке X0производнуюf ’(X0) ¹0, то обратная функция X= j(y)также имеет в соответствующей точке Y0 = f(X0)производную, причем j’(Y0) = 1/ f ’(X0).

Док-во: Дадим аргументу Y обратной функции X= j(y)некоторое приращение DY¹0. Функция X=j(y)получит некоторое приращение DX, причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции DX¹0. Þ DX /DY=1/(DY/DХ)Перейдем в этом равенстве к пределу при DY®0. Так как обратная функция X= j(y)непрерывна в точкеY, то DX®0при DY®0. Но при DX®0предел правой части равенства существует и равен 1/f ’(X0). Þ Существует предел и левой части, который по определению равен j’(Y0). Т. о. получаем j’(Y0) = 1/ f ’(X0).

40. Производные обратных функций.

ТЕОР1: Производная функции Y=a  (0<a¹1) выражается формулой Y’ = a  ·ln a.

Док-во: Показательная функция Y=a  является обратной для логарифмической функцииX=log Y. Так как X’(y) = (1/y)· log e, то (по Т о производной обрат Ф) из соотношения log b=1/log aполучим Y’(x)=1/X’(Y)=Y/ log e= a  ·ln a.

СЛЕД: ЕслиY=е , тоY’ = е .

ТЕОР2: Производная функции Y=arcsin X выражается формулой Y’=1/ (|X|<1).

Док-во: Так как функция Y=arcsin X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функцииX=sin Y, определенной в интервале -p/2<Y<p/2и для функции X=sin Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arcsin X дифференцируема в любой точке X=sin Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arcsin X)’=1/(sinY)’=1/cosY=1/ . Перед корнем поставим знак “+” в силу того, что cosY положителен на интервале -p/2<Y<p/2. Учитывая, чтоX=sin Y, окончательно получаем(arcsin X)’=1/ .

ТЕОР3: Производная функции Y=arccos X выражается формулой Y’= -1/ .

Док-во: Так как функция Y=arccos X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функцииX=cos Y, определенной в интервале 0<Y<pи для функции X=cos Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arccos X дифференцируема в любой точке X=cos Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arccos X)’=1/(cosY)’= -1/sinY= -1/ . Перед корнем поставим знак “ - ” в силу того, что cosY положителен на интервале 0<Y<p. Учитывая, чтоX=cos Y, окончательно получаем(arccos X)’= - 1/ .

ТЕОР4: Производная функции Y=arctg X выражается формулой Y’=1/(1+x ).

Док-во: Так как функцияY=arctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции X=tg Yопределенной на интервале -p/2<Y<p/2, и для функции X=tg Yв окрестности каждой точки интервала -p/2<Y<p/2выполнены все условия теоремы, то функция Y=arctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке X=tg Yи для ее производной справедлива следующая формула (arctg X)’=1/(tg Y)’=1/(1/cos Y)= cos Y=1/(1+tg Y)= 1/(1+x ).

ТЕОР5: Производная функции Y=arcctg X выражается формулой Y’= -1/(1+x ).

Док-во: Так как функцияY=arcctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции Y=ctg X определенной на интервале 0<Y<p, и для функции Y=ctg X в окрестности каждой точки интервала 0<Y<pвыполнены все условия теоремы, то функция Y=arcctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке и для ее производной справедлива следующая формула

(arcctg X)’=1/(ctg Y)’=1/( -1/sin Y)= -sin Y= -1/(1+ctg Y)= -1/(1+x ).

41. Теорема о производной сложной функции.

ТЕОР: Если функция X= j(t)имеет производную в точке T0, а функция Y=f(x)имеет производную в соответствующей точке X0=j (T0), то сложная функция f[j(t)]имеет производную в точке T0и справедлива следующая формула: Y’(T0)=f ’(X0) ·j’ (T0).

Док–во: Так как функция Y=f(x)дифференцируема в точкеX0, то приращение этой функции в точкеX0 может быть записано в виде DY=f ’(X0) ·DX+a(DX)·DX, гдеlim a(DX)=0. Поделив это равенство наDT(DT¹0), получим DX/DY=f ’(X0) ·DX/DT+a(DX) ·DX/DT. Это равенство справедливо для любых достаточно малых. Возьмем DX равным приращению функцииX= j(t), соответствующему приращению DT аргумента tв точкеT0, и устремим в этом равенстве DT к 0. Так как по условию X= j(t)имеем в точкеT0 производную, то она непрерывна в этой точке. Þ По определению непрерывности функции в точке, DX®0 при DT®0. Но тогда a(DX) ®0, т. е. имеем