Квадрат, как геометрическая фигура.

· Формулы, свойства квадрата.(2-3стр.)

2.Ромб, как геометрическая фигура.
    

· Формулы, свойства ромба.(4-5стр.)

3.Параллелограмм, как геометрическая фигура.
   

· Формулы, свойства параллелограмма. (6-7стр.)

4.Прямоугольник, как геометрическая фигура.
    

· Свойства прямоугольника. (8-9стр.)

                                                               

 

                                                                 1

                                Квадрат

             

 

 

 

Квадрат (от лат. quadratus — четырёхугольный) — правильный четырёхугольник у которого все стороны и углы равны между собой. Может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны между собой, или как ромб, у которого все углы прямые.

 

Признаки квадрата

Симметрия. Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

 

· четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам;

· одну ось симметрии четвёртого порядка (проходящую через центр квадрата перпендикулярно его плоскости).

                                                        

 

 

Диагонали. У квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, пересекаются в центре квадрата под прямым углом и делят друг друга пополам. Каждая диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Две диагонали вместе делят квадрат на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника.

 

 

2

 

Если обозначить сторону квадрата А, то длина диагонали d вычисляется по теореме Пифагора:

 

d = √(a2 +a2) = √(2a2) = √2·a.

 

 

Свойства Квадрата

 

 

· Пусть — сторона квадрата, — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности. Тогда центр описанной и вписанной окружностей квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей, и выходит:  

• радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

,

• радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

,

• периметр квадрата равен:

,

• площадь равна

.

· Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);
• четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

· Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам

                                                                     3

                                       Ромб

 
 

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

 

 

Этимология.

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

 

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

 

Свойства

 

· Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.

· Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC | BD) и в точке пересечения делятся пополам.

· Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (<DCA = <BCA, <ABD = <CBD и т. д.).

· Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).

                                                        4

Признаки

является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

· Все его стороны равны (  )

· Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC|BD).

· Его диагонали делят его углы пополам.

                                           Площадь Ромба

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

,

где — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности  и угол :

                                                                    5    

                                            Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

· Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник - параллелограмм

· Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм

·
 Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм

                                                                       6

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Сумма всех углов равна 360°.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,  и — длины диагоналей; тогда

Площадь параллелограмма

, где а — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.

, где a и b — стороны, а — угол между сторонами a и b.

, где и — диагонали, а — угол между диагоналями  и .

                                                                             7

                             Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° — прямоугольников не существует.

Свойства

• Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны попарно параллельны.
• Стороны прямоугольника являются его высотами.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

                                                            8

Площадь и стороны

• Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.
• Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Диагонали прямоугольника

• Длины диагоналей прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
• Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.

Признаки

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

• Если диагонали параллелограмма равны.
• Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.
• Если углы параллелограмма равны.

                                                                        9