Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Системы счисления

Основные понятия

Система счисления– это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитомсистемы счисления.

Символы алфавита системы счисления называются цифрамисистемы счисления.

Системы счисления делятся на

· непозиционные системы счисления;

· позиционные системы счисления.

В непозиционной системе счислениявеличина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависитот позиции цифры в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)

В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы:

Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30

Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:

1.Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).

2.Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).

3.Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.

(Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)

Пример 1: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10 ) + 5 + 1 + 1 = 1997

Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV

В позиционной системе счислениявеличина, обозначаемая цифрой, зависитот позиции, в которой находится эта цифра.

Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Например, число 333 = 300 + 30 + 3.
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.

Непозиционные системы счисления имеют рад недостатков:

· Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.

Например, записать 50 000 при помощи цифры М (1000) неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.

· Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.

· Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

Всех этих недостатков лишены позиционные системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление чисел только в позиционных системах счисления.

Позиционные системы счисления

В позиционной системе счислениявеличина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Количество используемых цифр называется основаниемсистемы счисления.

Покажем связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.

Обратите внимание на системы счисления с основанием большим 10.

Цифры, начиная с 10, обозначаются буквами латинского алфавита (10 – A, 11 – B, 12 – C,13 – D, 14 – E, 15 – F).

Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.

Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 10₁₆ = 16палочек.

А цифра 10 — А = 10палочек.

Чтобы показать, что число записано в системе счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса справа от числа (100101₂, 234₆, 3В₁₆).

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

· ограниченное количество символов;

· простота выполнения арифметических операций.

"Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значения по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827)

В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная система счисления. И тем не менее великий французский математик Блез Паскаль писал:

"Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно – в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей".

Десятичная система счисления характеризуется тем, что в ней считают десятками:

· десять единиц – это десяток;

· десять десятков – это уже сотня;

· десять сотен – тысяча и т.д.

В 2-ичной системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Любое число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени основания системы счисления. Такое представление называется развернутой формой записи числа.

В общем виде любое число х в позиционной системе счисления можно представить в виде:

       х = а_k • р^k + а_k-1 • р^k-1 + … + а₁ • р¹ + а₀ • р⁰ + а_-1 • р^-1 + … + а_-n • р^-n,

где а_k – k^я цифра целой части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;

     а_-n  - n^я цифра дробной части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;

     k + 1 – количество разрядов в целой части числа х;

     n – количество разрядов в дробной части числа х.

С учетом этих обозначений запись числа х в любой позиционной системе счисления с основанием р имеет вид:

     (а_k a_k-1 . . . a₁ a₀ a_-1 a_-2 . . . a_-n) _p

Например, число 3047₁₀ в развернутой форме будет записано так:

3047₁₀=3 •10³+0 •10²+4 •10¹+7 •10⁰=3 • 1000+0 • 100+4 • 10+7 • 1=3000+0+40+7=3047₁₀

На этом принципе основан перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему. Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример 1. Перевести число 111101₂ в десятичную систему счисления:

(в дальнейшем будет использоваться краткая запись задания: 111101₂ = Х₁₀)

111101₂ = 1 • 2⁵ + 1 • 2⁴ + 1 • 2³ + 1 • 2² + 0 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 61₁₀;

Ответ: 111101₂ = 61₁₀.

Пример 2.417₈ = X₁₀:

417₈ = 4 • 8² + 1 • 8¹ + 7 • 8⁰ = 256 + 8 + 7 = 271₁₀;

Ответ: 417₈ = 271₁₀.

Пример 3. 2С8Е₁₆ = Х₁₀:

2С8Е₁₆ = 2 • 16³ + 12 • 16² + 8 • 16¹ + 14 • 16⁰ = 8192 + 3072 + 128 + 14 = 11406₁₀;

Ответ: 2С8Е₁₆ = 11406₁₀.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Есть несколько способов перевода чисел из любой системы счисления в десятичную. Один их них основан на алгоритме для вычисления значения многочлена в некоторой точке х, который носит название вычислительной схемы Горнера.

Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р:

1. Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления (р) до тех пор, пока целая часть не станет ровна нулю.
2. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Пример 1. Перевести число 61 из десятичной системы счисления в двоичную:

(В дальнейшем будет использоваться краткая запись задания: 61₁₀ = Х₂)

61 = 30 • 2 + 1;

30 = 15 • 2 + 0;

15 = 7 • 2 + 1;

7 = 3 • 2 + 1;

3 = 1 • 2 + 1;

1 = 0 • 2 + 1.

Ответ: 61₁₀ = 111101₂.

(Можно заметить, что рассмотренный «Пример 1» является противоположным «Примеру 1» рассмотренному в предыдущей теме. Таким образом, всегда можно делать проверку результата при переводе чисел из любой системы счисления в десятичную, и наоборот).

Пример 2. 271₁₀ = Х₈:

271 = 33 • 8 + 7;

33 = 4 • 8 + 1;

4 = 0 • 8 +4.

Ответ: 271₁₀ = 417₈.

Пример 3. 11406₁₀ = Х₁₆:

11406 = 712 • 16 + 14;

712 = 44 • 16 + 8;

44 = 2 • 16 +12;

2 = 0 • 16 +2.

Учитывая, что в шестнадцатеричной системе счисления числу 14 соответствует цифра Е, а числу 12 цифра С, запишем ответ:

Ответ: 11406₁₀ = 2С8Е₁₆.

(Будет не правильно записать ответ: 11406₁₀ = 212814₁₆)