Выполнение арифметических операций в различных позиционных системах счисления

Системы счисления

Система счисления - это правило записи чисел с помо­щью заданного набора специальных знаков – цифр

Людьми использовались различные способы записи чисел, кото­рые можно объединить в несколько групп: унарная, непозиционные и позиционные.

Унарная - это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак - I («палочка»). Следующее число получается из предыдущего добавлением новой I; их количество (сумма) равно самому числу. Именно такая система применяется для начального обучения счету детей (можно вспомнить «счетные палочки»). Унарная система определяет значение целого числа количеством содержащихся в нем единиц (палочек).

Из непозиционных наиболее распространенной можно считать римскую систему счисления. В ней некоторые базовые числа обо­значены заглавными латинскими буквами: 1 - I, 5-V, 10-Х, 50-L , 100 - С, 500 - D, 1000 - М. Все другие числа строятся комбинаций базовых в соответствии со следующими правилами:

· если цифра меньшего значения стоит справа от большей циф­ры, то их значения суммируются; если слева - то меньшее значение вычитается из большего.

· цифры I, X, С и М могут следовать подряд не более трех раз каждая;

· цифры V, L и D могут использоваться в записи числа не более одного раза.

Например, запись XIX соответствует числу 19, MDXLIX - числу 1549. Запись чисел в такой системе громоздка и неудобна, но еще более неудобным оказывается выполнение в ней даже самых про­стых арифметических операций. Отсутствие нуля и знаков для чи­сел больше М не позволяют римскими цифрами записать любое число (хотя бы натуральное). По указанным причинам теперь рим­ская система используется лишь для нумерации.

В настоящее время для представления чисел применяют, в ос­новном, позиционные системы счисления.

Позиционными называются системы счисления, в кото­рых значение каждой цифры в изображении числа опреде­ляется ее положением (позицией) в ряду других цифр.

Наиболее распространенной и привычной является система счисления, в которой для записи чисел используется 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 – десятичная система счисления. Число представляет собой краткую запись мно­гочлена, в который входят степени некоторого другого числа - осно­вания системы счисления. Например,

272,12 = 2*10² + 7*10¹ + 2*10⁰+ 1*10^-1 + 2*10^-2.

В данном числе цифра 2 встречается трижды, однако, значение этих цифр различно и определяется их положением (позицией) в числе. Количество цифр для построения чисел, очевидно, равно основанию системы счисления. Также очевидно, что максимальная цифра на 1 меньше основания. Причина широкого распростране­ния именно десятичной системы счисления понятна - она проис­ходит от унарной системы с пальцами рук в качестве «палочек».

Кроме десятичной используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Необходимо запомнить следующие правила для позиционных систем счисления:

1. Количество цифр, используемых для изображения числа равно основанию системы. Например, для двоичной системы используются цифры 0 и 1; для восьмеричной системы: 0,1,2,3,4,5,6,7; для шестнадцатеричной системы: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D; и т.д.

2. Цифры, используемые для записи числа, не должны превышать основания системы.

3. Число, кратное основанию должно оканчиваться на 0.

4. Основание любой позиционной системы счисления изображается следующим образом: 10.

Переход между позиционными системами счисления с различными основаниями

1. Переход из любой системы счисления в десятичную систему.

Пример 1.

Дано число в двоичной системе счисления: А₂=10010,01₂. Перевести это число в десятичное: А₂ ® А₁₀

Записываем исходное число в следующем виде:

4 3 2  1  0 -1  -2 - показатели степени основания системы в соответствующей позиции

1 0 0 1 0, 0 1₂

Получаем:

А₁₀= 1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 = 18,25

Пример 2.

Дано число в восьмеричной системе счисления: А₈=256,7. Перевести это число в десятичное: А₈ ® А₁₀

Записываем исходное число в следующем виде:

2 1 0 -1 - - показатели степени основания системы в соответствующей позиции

2 5 6, 7

Получаем:

А₁₀=2*8²+5*8¹+6*8⁰+7*8^-1 =2*64+40+6+7*8^-1 =174,875

2. Переход из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления.

Пример 1.

Дано число в десятичной системе счисления: А₁₀=58,45. Перевести это число в двоичное: А₁₀ ® А₂

При переводе из десятичной системы отдельно переводится целая часть числа и отдельно дробная часть числа.

· Перевод целой части. Целая часть десятичного числа делится на основание той системы счисления, в которую делается перевод. Находится целая часть от деления. Полученное частное снова делится на тоже основание и т.д. Деление проводится до тех пор, пока получаемое частное больше или равно основанию той системы счисления, в которую делается перевод. Затем записываются последнее частное и все остатки целочисленных делений (от последнего к первому). Полученное число является искомой целой частью данного числа с новым основанием.

Находим целые части и остатки от делений:

1) 58:2. Целая часть: 26, остаток :0

2) 26:2. Целая часть: 13, остаток :0

3) 13:2. Целая часть: 6, остаток :1

4) 6:2. Целая часть: 3, остаток :0

5) 3:2. Целая часть: 1, остаток 1

Записываем последнюю целую часть и все остатки снизу вверх:

110100 – это искомая целая часть двоичного числа

· Перевод дробной части. Дробная часть десятичного числа умножается на основание той системы счисления, в которую делается перевод:

0,45*2=0,9

В полученном числе берется дробная часть и умножается на основание той системы счисления, в которую делается перевод:

0,9*2=1,8

и т.д.

Такое умножение проводится до тех пор, пока:

1) либо дробная часть полученного числа не станет равной нулю

2) либо в дробной части полученного числа не обнаружится период

3) либо дробная часть не достигнет заданного уровня точности.

По завершении умножения из всех полученных произведений берется только их целая часть. Полученные целые части записываются в том порядке, в котором делались умножения.

Полученное число является искомой дробной частью.

Для нашего примера:

1) 0,45*2=0,9

2) 0,9*2=1,8

3) 0,8*2=1,6

4) 0,6*2=1,2

5) 0,2*2=0,4

6) 0,4*2=0,8

7) 0,8*2=1,6 – началось повторение участка с 3) по 6)

Искомая дробная часть двоичного числа:

0,01(1100) – здесь 1100 – период

Искомое число: А₂=110100,01(1100)

Пример 2.

Дано число в десятичной системе счисления: А₁₀=75,0625. Перевести это число в восьмеричное: А₁₀ ® А₈

· Перевод целой части:

Находим целые части и остатки от делений:

1) 75:8. Целая часть: 9, остаток :3

2) 9:8. Целая часть: 1, остаток :1

Записываем последнюю целую часть и все остатки снизу вверх:

113 – это искомая целая часть восьмеричного числа

· Перевод дробной части.

0,0625*8=0,5

0,5*8=4,0 – умножение прекращаем, так как получили 0 в дробной части

Искомая дробная часть восьмеричного числа:

0,04

Искомое число: А₈=113,04

Переход из любой недясятичной системы счисления в другую недясятичную систему счисления проводится через десятичную систему счисления, то есть, для того, чтобы сделать, например переход A₅®A₇ надо сделать переход A₅®A₁₀®A₇

Переход между позиционными системами счисления с основаниями, равными 2^k, где к=1,2,3,4.

Для проведения такого перехода нам понадобится следующая таблица:

Рис.1. Таблица перевода чисел между двоичной, четверичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления

Перевод из двоичной систем счисления в систему счисления с основанием 2^к, где к=2,3,4

Пример 1

Дано число в двоичной системе счисления А₂=10101,10101. Надо перевести это число в восьмеричную систему счисления, то есть:

А₂® А₈.

Решение

1) 8=2³ , то есть к=3

2) В данном числе 10101,10101, начиная от запятой, влево и право отделяем группы по 3 цифры. Если цифр в группе меньше трех, то вместо недостающих цифр записываем незначащие нули: 010 101, 101 010

3) По таблице на рис.1 находим для каждой полученной группы соответствующее восьмеричное число:

Для 010 – находим 2₈

Для 101 – находим 5₈

Для 101 – находим 5₈

Для 010 – находим 2₈

4) Получаем искомое восьмеричное число: 25,52

Пример 2

Дано число в двоичной системе счисления А₂=10101,10101. Надо перевести это число в шестнадцатеричную систему счисления, то есть:

А₂® А₁₆.

Решение

5) 16=2⁴ , то есть к=4

6) В данном числе 10101,10101, начиная от запятой, влево и право отделяем группы по 4цифры. Если цифр в группе меньше четырех то вместо недостающих цифр записываем незначащие нули: 0001 0101, 1010 1000

7) По таблице на рис.1 находим для каждой полученной группы соответствующее шестнадцатеричное число:

Для 0001 – находим 1₁₆

Для 0101 – находим 5₁₆

Для 1010 – находим А₁₆

Для 1000 – находим 8₁₆

8) Получаем искомое шестнадцатеричное число: 15,А8

Перевод из системы счисления основанием 2^к, где к=2,3,4 в двоичную систему счисления 

Пример 1

Дано число в восьмеричной системе счисления А₈=40,15. Надо перевести это число в двоичную систему счисления, то есть:

А₈® А₂.

Решение

1) 8=2³ , то есть к=3

2) В данном числе 40,15  каждую восьмеричную цифру заменяем группой из трех цифр: для каждой цифры по таблице на рис.1 находим соответствующее двоичным число; если в этом числе меньше трех цифрой, то перед числом дописываем незначащие нули:

Для 4₈ – 100₂

Для 0₈ – 000₂

Для 1₈ – 001₂

Для 5₈ -   101₂

Получаем искомое двоичное число: 100000,001101

Пример 2

Дано число в четверичной системе счисления А₄=12,03. Надо перевести это число в двоичную систему счисления, то есть:

А₄® А₂.

Решение

3) 4=2² , то есть к=2

4) В данном числе 12,03 каждую четверичную цифру заменяем группой из двух цифр: для каждой цифры по таблице на рис.1 находим соответствующее двоичным число; если в этом числе меньше двух цифрой, то перед числом дописываем незначащий нуль:

Для 1₄ – 01₂

Для 2₄ – 10₂

Для 0₄ – 00₂

Для 3₄ - 11₂

Получаем искомое двоичное число: 110,0011

Переход из любой системы счисления с основанием 2к (к=2,3,4)в любую другую систему счисления с основанием 2к (к=2,3,4) проводится через двоичную систему счисления, то есть, для того, чтобы сделать, например, переход A₈®A₁₆ надо сделать переход A₈®A₂®A₁₆

Выполнение арифметических операций в различных позиционных системах счисления

Так как мы умеем  выполнять арифметические операции только в десятичной системе счисления, то для выполнения арифметических операций в других позиционных системах счисления необходимо переводить (обычно мысленно) участвующие в операции части числа в десятичную систему счисления, а после выполнения операции обратно.

1. Сложение

Пример 1

Сложить два числа в двоичной системе счисления:

A₂=111,1; В₂=101,1

Решение:

1 1 1, 1₂

+

1 0 1, 1₂

_______

1 1 0 1, 0₂

Пояснение:

§ начинаем складывать с последнего разряда (также, как складываем в десятичной системе)

§ Мысленно переводим каждую цифру разряда в десятичную систему счисления и складываем полученные значения в десятичной системе

§ Полученный результат переводим обратно в исходную систему счисления

Пример 2

Сложить два числа в восьмеричной системе счисления:

A₈=56,5; В₈=47,6

Решение:

5 6 , 5₈

+

4 7 , 6₈

_______

1 2 6 , 3₈

2. Вычитание

Пример 1

А₂=100,0; В₂=11,1. Найти А₂-В₂

Решение

1 0 0 , 0

-

1 1 , 1

_______

   0 , 1

Пример 2

А₈=103,3; В₈=56,7. Найти А₈-В₈

Решение

1 0 3 , 3

-

5 6 , 7

________

2 4 , 4

3. Умножение

Пример 1

А₂=100; В₂=10,1. Найти А_2*В₂

Решение

1 0 0

*

  1 0 , 1

_______

1 0 0

+

0 0 0

+

1 0 0

___________

1 0 1 0

Пример 2

А₈=2,3; В₈=5,6. Найти А_8*В₈

Решение

2 , 3

*

5 , 6

______

1 6 2

+

 1 3 7

_______

 1 5,5 2

4. Деление

Пример 1

А₂=101,1; В₂=10,1. Найти А₂:В₂

Решение

101,1:10,1=1011:101

1011|_101

-   10,001100011000…

101

¾¾¾

0001000

-

   101

¾¾¾¾

00110

Продолжение решения

00110

-

      101

¾¾¾¾

     001000

-

           101

¾¾¾¾¾-

         00110

-

             101

¾¾¾¾¾¾

              001000

…………………….

Как видно из решения, в полученном частном можно выделить период: 11000.

Ответ: 10,00(11000)

Пример 2

А₃=1111,22; В₃=12,1. Найти А₃:В₃

Решение

1111,22: 12,1=111122:1210

111122|_1210

-         21,2

10120

¾¾¾¾

002222

-

1210

¾¾¾¾

10120

-

10120

¾¾¾¾

00000

Ответ: 21,2