Порядок выполнения работы       

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА И ГЕНЕРАЦИЯ»

Цель и задачи лабораторной работы

Целью лабораторной работы является экспериментальное изучение основных положений преобразований Фурье. Определение спектрального анализа периодических сигналов.

Задачами лабораторной работы являются:

- проведение спектрального анализа периодических сигналов (прямое преобразование Фурье);

- генерация периодических сигналов по его гармоническим составляющим (обратное преобразование Фурье).

Теоретическая часть

Спектральный анализ периодических сигналов.

Анализ периодических сигналов и радиотехнических цепей производится как временным способом, так и спектральным, который основан на разложении сигналов в тригонометрический ряд Фурье.

Цель временного анализа — определить изменение фор­мы сигнала по отклику (реакции) цепи на оказываемое на нее воз­действие, а спектрального – выявить изменения сиг­нала по преобразованию спектра данной цепью.

Гармонический (спектральный) анализ – это раздел математики, который изучает возможности представления функций в виде тригонометрических рядов и интегралов. Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание, которое математически можно записать следующим образом:

,

(3.1)

где А, ,  - соответственно амплитуда, циклическая частота, начальная фаза колебания.

В гармоническом анализе вводится понятие n–й гармоники гармонического колебания частоты , под которой понимают опять же гармоническое колебание с частотой, в n раз превышающей частоту основного гармонического колебания. Математически выражение для n–й гармоники основного тона  можно записать следующим образом:

,

(3.2)

где , ,  - амплитуда, циклическая частота, начальная фаза n–й гармоники основного тона  соответственно.

В теории связи функциями являются различные сигналы. Под спектром сигнала понимают совокупность его гармонических составляющих.

Основа спектрального анализа периодических сигналов – ряд Фурье. Любой периодический сигнал можно представить в виде бесконечного суммирования гармонических колебаний (гармоник):

,

(3.3)

где соответствует постоянной составляющей сигнала, а  и  представляют амплитуды косинусоидальных и синусоидальных гармоник сигнала соответственно.

Рисунок 3.1 - Четные (а) и нечетные (б) функции.

Из формул для коэффициентов ряда Фурье следует, что четный сигнал имеет только косинусоидальные (рис. 3.1,а), а нечетный – только синусоидальные слагаемые (рис. 3.1,б).

Все это приводит к выводу, что спектральная функция «четного» сигнала содержит только постоянную и косинусные составляющие, а «нечетного» сигнала - только синусные составляющие; если же сигнал выражается произвольной функцией времени, то в нем имеют­ся оба ряда составляющих: и синусный, и косинусный.

Характерно, что спектр периодических сигналов не сплошной, а линейчатый, т.е. между соседними линиями спектра имеются «просветы» шириной в частоту следования сигнала F = 1/T.

=  - циклическая частота первой гармоники, величина которой обратно пропорциональная периоду сигнала.

    Из этого следует, что периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармоник с частотами  (n=1, 2, 3…), кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой  и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье записываются в виде:

,                                          .

Так что

,              .

Подставив эти выражения в (3.3), получим эквивалентную форму ряда Фурье:

.

(3.4)

На рисунке 3.2, а показано, что если в любой момент времени t сложить три синусоидальных напряжения U₁, U₂, U₃, имеющих соответственно периоды T₁, T₂ = T₁/2, T₃ = T₁/3, амплитуды U_1m, U_2m, U_3m и начальные фазы , то получится несинусоидальное напряжение U с таким же периодом T, как и у первой гармоники (T= T₁).

Рисунок 3.2 - Диаграммы периодического несинусоидального сигнала

Все гармонические составляющие образуют в совокупности спектр сигнала, изображаемый двумя диаграммами, из которых одна называется амплитудно-частотным спектром, а другая – фазо-частотным. На этих диаграммах ось абсцисс образует шкалу ча­стот , а на оси ординат откладываются отрезки, длина кото­рых пропорциональна амплитуде U_nm (для амплитудно-частотного спектра, рис. 3.2,б) или начальной фазе  (для фазо-частотного спектра, рис. 3.2, в) соответствующей n-й гармоники.

В радиотехнических устройствах сигнал подвергается различным формам обработки. Для того чтобы рассчитать результат этих преобразований, используется комплексная форма ряда Фурье. Эти преобразования имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления функции вещественной переменной. Поэтому при проведении расчетов реальный сигнал можно представить в виде функции комплексной переменной, преобразовав его соответствующим образом, а затем снова перейти к вещественному представлению:

,

(3.5)

где

.

(3.6)

Входящая в формулу (2.5) комплексная амплитуда  связана с  и  следующими соотношениями:

    ,                 .

Отсюда видно, что комплексные амплитуды  и  являются взаимно сопряженными комплексными величинами. Четность модуля  вытекает непосредственно из его определения.

Отрицательные частоты, которые вводятся для представления реального сигнала s(t) комплексным рядом Фурье, носят формальный характер и не имеют никакого физического смысла.

Порядок выполнения работы