Структурные преобразования схем САУ

Упражнение 3 (по вариантам)

1. Произвести преобразование схемы САУ и найти передаточную функцию всей схемы;

2. Если система неустойчива, то необходимо определить параметры, при которых система будет устойчива;

3. Исследовать переходную характеристику САУ

4. Непосредственное графическое построение кривой переходного процесса (см. сопроводительные файлы “***.xmcd” )

5. Сделать выводы см. также файлы в приложении

Структурные преобразования схем САУ

Как правило, по структурной схеме при известных функциях передачи отдельных звеньев требуется найти эквивалентную передаточную функцию (ПФ) некоторого объединения звеньев (объекта, регулятора), либо всей системы в целом. Для этого используют правила преобразования последовательного, параллельного и встречно-параллельного (с обратной связью) соединений.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев. Считают, что перестановка последовательно включенных по пути сигнала звеньев не влияет на результат, т. е. .

Эквивалентная передаточная функция параллельно соединен­ных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев (с учетом знака входа сумматора на пути сигнала).

Путь от входа к выходу системы называется прямой связью, от выхода ко входу - обратной связью. Если сигнал на пути меняет знак (обычно на инвертирующем входе сумматора), обратная связь называется отрицательной (ООС), если не меняет знак - положительной (ПОС). Замкнутый путь называется контуром, например, замкнутый контур обратной связи (ЗКОС). Эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, в числителе которой записана ПФ звена на прямом пути, а в знаменателе - единица минус произведение ПФ звеньев по замкнутому контуру обратной связи. Величина   называется определителем ЗКОС.

i=l

Особенности этого вида соединения звеньев:

· если в системе есть хоть одна обратная связь, передаточная функция
системы будет всегда представлять собой дробь;

· знак перед произведением ПФ звеньев в знаменателе (в определителе ЗКОС) обычно противоположен знаку обратной связи.

Для систем с перекрещивающимися (мостиковыми) связями применяют правило переноса: в переносимую ветвь вводят фиктивное звено с передаточной функцией, равной ПФ потерянного, либо обратной ПФ появившегося при переносе элемента.

По Мейсону структурная схема может быть описана целиком, без деления на звенья. Передаточная функция многоконтурной системы образует дробь, числитель которой равен сумме произведений пе­редаточных функций прямых путей на совокупные определители ЗКОС, не касающихся этих путей, а знаменатель - единица минус сумма произведений определителей несоприкасающихся ЗКОС и передаточных функций общих ЗКОС. Следует внимательно относиться к ветвям, которые заходят извне в контур ОС, т.к. они могут образовывать неявные прямые пути по цепям обратных связей.

Пример 1. Определить передаточную функцию схемы (рисунок 1.1, а).

Рисунок 1.1 а

Рисунок 1.1 б

Видно, что без преобразований нельзя начинать сворачивать схему, в частности, нельзя объединить звенья W₂ и W₃, как последовательно включенные, из-за связи в точке m. Перенесем ветвь из узла m в узел n (рисунок 1.1,б).

В исходной схеме на пути от точки m к входному сумматору не было звеньев, преобразующих сигнал, а в новой схеме на пути между теми же точками появляется звено с передаточной функцией W3. Следовательно, в цепь переносимого воздействия нужно ввести фиктивное звено с обратной передаточной функцией, т. е. 1/W₃ или .

После переноса начнем свертывание схемы, заменяя каждый раз несколько звеньев одним эквивалентным на основе правил 1-3 (табл. в слайдах) и увеличивая границы преобразуемого участка. Промежуточные (вспомогательные) ПФ обычно индексируют римскими цифрами, их используют временно и обязательно заменяют в итоге на ПФ с реально существующими индексами.

;                ;

.

Конечный результат всегда представляется в виде простой рациональной дроби и выражается только через исходные передаточные функции. Сигнал не может пройти через одну и ту же точку дважды,поэтому появление в выражении кратных величин вида 2W_i или W_t и т. п. является признаком допущенной при преобразованиях ошибки.

Пример 2. Определить передаточную функцию схемы (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2

Применим правило Мейсона. В системе имеются обратные связи, поэтому ПФ представляет собой дробь. Прямой путь от входа u к выходу y только один, его касаются все пять ЗКОС, поэтому в числителе ПФ пишем просто произведение 4/s³. Знаменатель начинаем описывать с несоприкасающихся контуров — контур I не имеет общих точек с контуром III и вложенным в него контуром II, поэтому записываем сначала произведение их определителей. Контур IV соприкасается с контурами I и III, поэтому просто добавляем произведение звеньев по нему 2/s² , но умножаем его на определитель контура II, так как этот ЗКОС не имеет общих точек с IV. И в конце просто добавляем произведение звеньев 3/s³ контура V, поскольку он соприкасается со всеми остальными ЗКОС