Задания для контрольных работ

1-10. Даны вершины А(Х₁;Y₁), В(Х₂;Y₂), С(Х₃;Y₃) треугольника АВС. Требуется найти:

       а) уравнение стороны АС

       б) уравнение высоты, проведенной из вершины В

       в) длину высоты, проведенной из вершины А

       г) величина (в радианах) угла В

       д) уравнение биссектрисы угла В.

1.    А(5;3), В(-11;-9), С(-4;15).

2.    А(-7;2), В(5;-3), С(8;1).

3.    А(1;-15), В(6;-3), С(2;0).

4.    А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).

5.    А(6;3), В(-10;-9), С(-3;15).

6.    А(-9;6), В(3;1), С(6;5).

7.    А(20;5), В(-4;12), С(-8;9).

8.    А(-3;-7), В(2;5), С(-2;8).

9.    А(10;1), В(-6;13), С(1;-11).

10.  А(0;-9), В(5;3), С(1;6).

11.  Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое меньше, чем от прямой Х+1=0.

12.  Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое больше, чем от прямой Х+1=0.

13.  Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(3;1) и от прямой Y+5=0.

14.  Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(3;4) в два раза больше, чем от точки В(6;7).

15.  Составить уравнение геометрического места точек, являющихся центрами окружностей, проходящих через точку А(3;2) и касающихся оси ОХ.

16.  Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(-4;2) и касающихся оси OY.

17.  Составит уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;4) и В(-4;4) равна 8.

18.      Составить уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;-2) и В(2;4) равна 8.

19.      Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое ближе к точке А(-4;3), чем к точке В(1;-2).

20.      Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой Х+6=0 и от начала координат.

21.      Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если большая ось его равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

22.  Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/5.

23.      Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если малая его ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10.

24.      Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если уравнение ассимптот: , а расстояние между фокусами равно 20.

25.      Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если действительная ее ось равна 16, а эксцентриситет равен 5/4.

26.      Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/2.

27.  Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между директрисами равно 32/5, а мнимая ось равна 6.

28.      Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, с вершиной в начале координат, проходящей через точку

А(-1;3).

29.       Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY, с вершиной в начале координат, проходящей через точку

А(1;1).

30.      Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY, с вершиной в начале координат, проходящей через точку

А(4;8).

31-40. Даны вершины А₁(X₁; Y₁; Z₁), А₂(X₂; Y₂; Z₂), А₃(X₃; Y₃; Z₃),

А₄(X₄; Y₄; Z₄). Средствами векторной алгебры найти:

       а) длину ребра А₁ А₂

       б) угол между ребрами А₁ А₂  и А₁ А₃

       в) площадь грани А₁А₂А₃

       г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины А₄

       д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А₄

           е) объем пирамиды А₁А₂А₃А₄

31.      А₁(7;0;3), А₂(3;0;-1), А₃(3;0;5), А₄(4;3;-2).

32.      А₁(1;-1;6), А₂(2;5;-2), А₃(-3;3;3), А₄(4;1;5).

33.  А₁(3;6;1), А₂(6;1;4), А₃(3;-6;10), А₄(7;5;4).

34.      А₁(1;1;3), А₂(6;1;4), А₃(6;4;1), А₄(0;5;6).

35.      А₁(4;4;5), А₂(10;2;3), А₃(-3;5;4), А₄(6;-2;2).

36.      А₁(-1;2;5), А₂(-4;6;4), А₃(2;1;5), А₄(-1;-2;2).

37.      А₁(2;-1;9), А₂(1;1;5), А₃(7;3;1), А₄(2;6;-2).

38.      А₁(1;-2;2), А₂(-1;-3;4), А₃(5;5;-1), А₄(2;-4;5).

39.  А₁(1;1;3), А₂(7;1;1), А₃(2;2;2), А₄(4;1;-1).

40.      А₁(3;1;2), А₂(5;0;-1), А₃(0;3;6), А₄(3;7;10).

41-50. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

41.      Прямую  и точку А(4;6;-3).

42.      Две параллельные прямые

                    и .

43.      Три точки А(1;2;3), В(2;11;4), С(3;-2;1).

44.      Две пересекающиеся прямые

              и  .

45.      Прямую и точку:

                   и А(1;2;0).

46.  Прямую и точку:

                   и А(2;1;-1).

47.      Две параллельные прямые:

                          и     .

48.  Три точки : А(3;0;-1), В(4;1;0), С(2;-5;3).

49.      Две пересекающиеся прямые:

                            и     .

50.      А(2;0;-3), В(2;-5;3), С(3;-1;2).

51-60. Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):

51.  а)            б)

       в)            г)

       д) .

52.      а)          б)

       в)      г)

       д) .

53.      а)                б)

       в)                  г)

       д) .

54.      а)                    б)

       в)                      г)

       д) .

55.  а)                    б)

       в)                        г)

       д) .

56.  а)                    б)

       в)                           г)

       д) .

57.      а)                б)

       в)            г)

       д) .

58.      а)            б)

       в)          г)

       д) .

59.      а)      б)

       в)          г)

       д) .

60.  а)           б)

       в)             г)

       д) .

61-70.Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:

61.               62. 

63.                     64. 

65.                66. 

67.                  68. 

69.                 70. 

71-80.Найти производные:

71.  а)             б)

       в)                     г)

       д)

72.      а)                   б)

       в)                   г)

       д)

73.      а)                   б)

       в)            г)

       д)

74.  а)           б)

       в)      г)

       д)

75.      a)              б)

       в)          г)

       д)у² =х²+х cos ²у.

76.      а)                б)

       в)             г)

       д)

77.       а)                             б)

       в)

       г)

       д)

78.      а)                           б)

       в)                     г)

       д)

79.  а)                 б)

       в)                        г)

       д)

80.      а)                       б)

       в)                   г)

       д)

81-90.Найти   для функции, заданной параметрически:

81.                   82. 

83.                           84  

85.                    86. 

87.                   88. 

89.                       90. 

91-100.Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:

91.      a)                                б)   

92.  a)                                   б)   

93.  a)                    б)   

94.  а)                    б)   

95.      а)                            б)   

96.      а)                          б)   

97.      а)                           б)   

98.      а)                  б)   

99.      а)                               б)   

100.    а)                                 б)   

101-110.Найти частные производные функции:

101.                        102.    

103.    

104.                          105.    

106.                              107.

108.    

109.

110.

111-120. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием:

111.    а)                             б)   

           в)   

112.    а)                   б)   

           в)   

113.    а)                       б)   

           в)   

114.    а)                              б)   

           в)   

115.    а)                             б)   

           в)   

116.    а)                       б)   

           в)   

117.    а)                   б)   

           в)   

118.    а)                     б)   

           в)   

119.    а)                                б)   

           в)   

120.    а)                  б)   

       в)   

121-130.Найти неопределенные интегралы:

121.    а)                  б)   

       в)   

122.    а)               б)   

       в)   

123.    а)                    б)   

       в)   

124.    а)                б)   

       в)   

125.    а)                    б)   

       в)   

126.    а)                    б)   

       в)   

127.    а)                    б)   

       в)   

128.    а)                    б)   

       в)   

129.    а)                    б)   

       в)   

130.    а)                б)   

       в)   

131.    Вычислить объем тела вращения, образованного вращением во    круг оси ординат фигуры, расположенной в первой четверти и    ограниченной линиями:

                   y = 2 - x²; y = x; x = 0.

132.    Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной линиями:

                   y = x² - 3x; 3x + y - 4 = 0; y = 0.

133.    Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси       ординат фигуры, ограниченной линиями:

                   y = 3 - x²; y = x² + 1.

134.    Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

                   y = 2/x; y = x+1; x = 3.

135. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси       абсцисс фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями:

                              x + y = 4; y = 3x; y = 0.

136.    Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

                   x + y = 0; y = 2x - x².

137.    Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: y = e^-x, y = 0,   x=0, x = 1, вращается вокруг оси абсцисс.

       Вычислить объем тела, которое при этом образуется.

138. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =sinx и   y=cosx и лежащей между любыми двумя точками пересечения      этих кривых.

139.    Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси       абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

                   y² = 4x, x = 4.

140.    Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

                   y = x³, y = 2x.

141-150.Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

141.                                           142.    

143.                                         144.    

145.                                           146.    

147.                                         148.    

149.                                             150.    

151-160.Найти общее решение или общий интеграл

       дифференциального уравнения:

151.

152.    

153.    

154.    

155.    

156.                                    157.

158.    

159.                                160.    

161-170.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям ; :

161.    

162.

163.    

164.    

165.    

166.    

167.    

168.    

169.    

170.    

171-180.Найти область сходимости ряда степенного:

171.                                   172.    

173.                                             174.

175.                                      176.    

177.                                       178.    

179.                                      180.    

181-190.Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд:

181.                                       182.    

183.                                         184.    

185.                                         186.    

187.                                    188.    

189.                                          190.